STATIQUE 3 : PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (PFS)

La STATIQUE étudie la relation de cause à effet entre l'EQUILIBRE relatif d'un système matériel, et les ACTIONS MECANIQUES auxquelles ce système est soumis.
L'objectif des problèmes de statique est de déterminer les actions mécaniques inconnues qui agissent sur le système, en vue de dimensionner les éléments constituants les liaisons ou les actionneurs (moteurs, vérins, etc.).
1. Différences entre Mécanique du point et Mécanique du solide indéformable
MECANIQUE DU POINT MATERIEL MECANIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE
  • Solide résumé à une "bille" ;
  • Masse concentrée que un point (centre d'inertie \(G\)) ;
  • Aucun autre point défini.
  • Solide de forme plus ou moins complexe, en fonction du système mécanique étudié ;
  • Plusieurs points définis pour un même solide, par nécessairement de centre d'inertie \(G\) ;
  • Présence de liaisons normalisées entre différents solides composants le mécanisme, ayant une influence non négligeable.
2. Première loi de Newton
2.1. Enoncé et application
Enoncé :
Dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie \(G\) d'un solide soumis à un ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle, est soit au repos, soit animé d'un mouvement rectiligne et uniforme (vecteur vitesse constant).
Le Principe Fondamental de la Statique ne s'applique que dans l'une ou l'autre de ces conditions :
  • Le système étudié est au repos ;
  • Le système étudié est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme (vecteur vitesse constant).
C'est-à-dire, dans le cadre d'une accélération nulle ; si l'accélération n'est pas nulle (ou considérée comme telle), il faudra alors appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique.
La première loi de Newton génère deux théorèmes en Mécanique du Solide Indéformable :
  • Le THEOREME DES RESULTANTES STATIQUES (TRS), qui se traduit par :
    Si un système \(S\) est en équilibre, la somme des forces appliquées au système matériel est nulle : $$\Sigma \overrightarrow{F_{ext \rightarrow S}}=\overrightarrow{0}$$
  • Le THEOREME DES MOMENTS STATIQUES (TMS), qui se traduit par :
    Si un système \(S\) est en équilibre, la somme des moments de forces appliqués en un point défini du système matériel est nulle : $$\Sigma \overrightarrow{M_{P, ext \rightarrow S}}=\overrightarrow{0}$$
2.2. Isolement d'un système matériel
D'une façon générale, un système matériel \(S\) en équilibre (ou en mouvement) subit de la part de l'extérieur un ensemble \(E\) d'actions mécaniques représenté par un ensemble fini de \(n\) forces \(\overrightarrow{F_i}\) lié à un point \(P_{i}\).
Pour définir un système matériel dans une application, il faut réaliser un ISOLEMENT, c'est-à-dire visualiser la frontière fictive entre l'extérieur et le système, en vue d'en lister l'ensemble \(E\) d'actions mécaniques.

Pour s'assurer le moins d'erreur possible, les étapes pour générer cet isolement sont :
  1. Réaliser le GRAPHE DE STRUCTURE (graphe de liaisons + efforts mécaniques définis) de l'ensemble du mécanisme ;
  2. Entourer le ou les solides que l'on souhaite étudié(s) ; cette frontière fictive matérialise l'ISOLEMENT ;
  3. Déterminer le BILAN DES ACTIONS MECANIQUES EXTERIEURES (BAME), c'est-à-dire la liste des efforts mécaniques constituant l'ensemble \(E\).
Règles de l'isolement :
  • On n'isole JAMAIS LE BÂTI, dont on ne connaît pas la nature de sa liaison avec le reste du système extérieur ;
  • On peut isoler 1 solide seul ou plusieurs solides reliés entre eux par une liaison ;
  • 1 isolement = 1 Bilan des Actions Mécaniques Extérieures, il faut donc TOUJOURS RENSEIGNER CE QU'ON ISOLE !
On cherche le couple moteur \(C_m\) que doit exercer le moteur sur la pièce 1, pour obtenir un effort de serrage \(F_{ser}\) de \(10~daN\).
Pour obtenir des équations vectorielles faisant intervenir \(F_{ser}\), il est nécessaire d'isoler le solide 6 (ou 6').

On isole le solide 6 (faire un cercle autour du solide 6 dans le graphe de structure). Le BAME est :
  • Les AM issues de la liaison pivot de \(5 \rightarrow 6\) ;
  • Les AM issues de la liaison pivot de \(4 \rightarrow 6\) ;
  • La force de serrage : \(\frac{1}{2}.\overrightarrow{F_{ser}}\).
Le TRS est donc : $$\overrightarrow{F_{5 \rightarrow 6}} + \overrightarrow{F_{4 \rightarrow 6}} + \frac{1}{2}.\overrightarrow{F_{ser}} = \overrightarrow{0}$$ Le TMS à un point \(P\) est donc : $$\overrightarrow{M_{P, 5 \rightarrow 6}} + \overrightarrow{M_{P, 4 \rightarrow 6}} + \overrightarrow{M(P, \frac{1}{2}.\overrightarrow{F_{ser}} \rightarrow 6)}=\overrightarrow{0}$$
Remarques importantes :
  • Un BAME peut être rédiger sous différente forme (en fonction des éléments du sujet) :
    • Sous forme de liste simple ;
    • Sous forme d'une liste de vecteurs ;
    • Sous forme d'une liste de torseurs d'actions mécaniques.
  • Pour chaque élément de la liste de ce BAME, on prendra une attention particulière à la notation des indices, le système isolé est TOUJOURS le deuxième élément (pivot de \(5 \rightarrow 6\), quand j'isole le solide \(6\) ; pivot de \(6 \rightarrow 5\), quand j'isole de le solide \(5\)).
Pour obtenir des équations vectorielles faisant intervenir \(C_{m}\), il est nécessaire d'isoler le solide 1, et il est possible de faire un lien avec \(F_{ser}\) en isolant d'un seul bloc les solides \(\{6+5+3+2+1\}\).

On isole l'ensemble des solides \(\{6+5+3+2+1\}\). Le BAME est :
  • Les AM issues de la liaison pivot de \(6 \rightarrow 5\) ;
  • Les AM issues de la liaison pivot de \(0 \rightarrow 1\) ;
  • Les AM issues de la liaison pivot de \(3' \rightarrow 2\) ;
  • Le couple moteur : \(\overrightarrow{C_{m}}\).
Le TRS est donc : $$\overrightarrow{F_{6 \rightarrow 5}} + \overrightarrow{F_{0 \rightarrow 1}} + \overrightarrow{F_{3' \rightarrow 2}} = \overrightarrow{0}$$ Le TMS à un point \(P\) est donc : $$\overrightarrow{M_{P, 6 \rightarrow 5}} + \overrightarrow{M_{P, 0 \rightarrow 1}} + \overrightarrow{M_{P, 3' \rightarrow 2}}= \overrightarrow{0}$$


On définit les ACTIONS MECANIQUES EXTERIEURES, toutes les actions mécaniques exercées par le milieu extérieur SUR le système isolé.
On définit les ACTIONS MECANIQUES INTERIEURES, toutes les actions mécaniques exercées par un élément appartenant au système isolé SUR un autre élément du système isolé (Exemple : l'hélicoïdale est ici une action mécanique intérieure, donc absente du BAME.).

Le PFS ne prend en compte que les actions mécaniques extérieures, on en déduit que pour atteindre une liaison ou un effort particulier, il faut nécessairement isoler l'un des solides en lien.

On observe que la couple moteur \(C_{m}\) n'intervient que dans le Théorème des Moments Statiques, et qu'il est défini suivant l'axe de la pivot avec laquelle il est en parallèle sur le graphe de structure.
3. Deuxième loi de Newton
Enoncé :
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la masse de l'objet par son vecteur accélération.
Cette loi sera explicitée plus en détail dans la partie Dynamique du Solide Indéformable.
4. Troisième loi de Newton
Enoncé :
Lorsqu'un solide \(S_1\) exerce une force sur un solide \(S_2\), le solide \(S_2\) exerce sur le solide \(S_1\), la force directement opposée.
De cette loi, on obtient deux conséquences :
  • Le THEOREME DES ACTIONS RECIPROQUES - 1ère conséquence :
    Soient une force indicée \(\overrightarrow{F_{i \rightarrow j}}\) et une force indicée \(\overrightarrow{F_{j \rightarrow i}}\) (avec \(i\) et \(j\) le numéro des solides en présence dans la génération de la force), alors : $$\overrightarrow{F_{i \rightarrow j}}=-\overrightarrow{F_{j \rightarrow i}}$$
  • Le THEOREME DES ACTIONS RECIPROQUES - 2ème conséquence :
    Un solide soumis à deux efforts, ces efforts sont égaux et opposées, et de direction la droite passant par les points d'application des deux efforts.
Réponse à formuler (démonstration non nécessaire) :
Le solide 4 est soumis à deux efforts, ils sont égaux et opposés, et de direction la droite \((AB)\). $$\overrightarrow{F_{0 \rightarrow 4}} = -\overrightarrow{F_{6 \rightarrow 4}}$$ On isole le solide \(4\). Le BAME est :
  • Les AM issues de la liaison pivot de \(0 \rightarrow 4\) en un point \(A\) ;
  • Les AM issues de la liaison pivot de \(6 \rightarrow 4\) en un point \(B\).

Démonstration :
Le TRS est donc : $$\overrightarrow{F_{0 \rightarrow 4}} + \overrightarrow{F_{6 \rightarrow 4}} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{F_{0 \rightarrow 4}} =- \overrightarrow{F_{6 \rightarrow 4}}$$ Pour appliquer le TMS, il existe un point \(P\) tel que : \begin{eqnarray} & & \overrightarrow{M_{P, 0 \rightarrow 4}} + \overrightarrow{M_{P, 6 \rightarrow 4}} = \overrightarrow{0} \nonumber \\ &\Rightarrow& \overrightarrow{PA} \wedge \overrightarrow{F_{0 \rightarrow 4}} + \overrightarrow{PB} \wedge \overrightarrow{F_{6 \rightarrow 4}} = \overrightarrow{0} \nonumber \end{eqnarray} Pour que ce produit vectoriel soit nul, il n'y a pas d'autre choix que : \(\overrightarrow{PA}\), \(\overrightarrow{PB}\), \(\overrightarrow{F_{0 \rightarrow 4}}\) et \(\overrightarrow{F_{6 \rightarrow 4}}\) soient colinéaires. Donc, on en déduit que les forces \(\overrightarrow{F_{0 \rightarrow 4}}\) et \(\overrightarrow{F_{6 \rightarrow 4}}\) sont sur la droite \((AB)\).
Remarque :
Il est fortement déconseillé de traiter ce genre d'isolement avec des torseurs, car ils génèrent potentiellement beaucoup d'inconnues de liaisons, qui ne vous permettrons pas de retrouver la loi précédemment énoncée.
Restez en Bilan des Actions Mécaniques Extérieures sous forme de liste ou de liste de vecteurs ; et générez une réponse systèmatique lorsqu'un système est soumis à deux efforts.