STATIQUE 2 : TORSEUR DES ACTIONS MECANIQUES

1. Notations et spécificités d'un torseur
Le torseur est une boîte à outils permettant de ranger toutes les informations concernant l'un ou l'autre aspect possible en analyse mécanique. On définira :
  • Torseur cinématique \(\{\mathbb{V}_{i/j}\}\), définissant les vitesses (rotation et linéaire) d'un solide par rapport à un autre ;
  • Torseur des actions mécaniques \(\{\mathbb{F}_{i \rightarrow j}\}\), définissant les forces et moments d'un solide sur un autre ;
  • Torseur cinétique \(\{\mathbb{C}_{i/j}\}\), définissant les quantités de mouvements (rotation et linéaire) d'un solide par rapport à un autre ;
  • Torseur dynamique \(\{\mathbb{D}_{i/j}\}\), définissant les quantités d'accélérations (rotation et linéaire) d'un solide par rapport à un autre.
Un TORSEUR rassemble un couple de vecteurs :
  • Un vecteur appelé RESULTANTE, noté \(\overrightarrow{R}\), constante en tout point.
  • Un vecteur appelé MOMENT, noté \(\overrightarrow{M_{B}}\) variable en fonction du point, vérifiant la relation de Varignon : $$\overrightarrow{M_{B}}=\overrightarrow{M_{A}}+\overrightarrow{BA}\wedge \overrightarrow{R}$$
Notation des torseurs :
$$\{\mathbb{T}_{i/j}\}=\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R} \\ \overrightarrow{M_{B}} \end{array}\right\}_{(B,R)}=\left\{\begin{array}{cc} R_{x}.\overrightarrow{x}+R_{y}.\overrightarrow{y}+R_{z}.\overrightarrow{z} \\ M_{Bx}.\overrightarrow{x}+M_{By}.\overrightarrow{y}+M_{Bz}.\overrightarrow{z} \end{array}\right\}_{(B)}=\left\{\begin{array}{cc} R_{x} & M_{Ax} \\ R_{y} & M_{Ay} \\ R_{z} & M_{Az} \end{array}\right\}_{(B, R)}$$ \(\overrightarrow{R}\) et \(\overrightarrow{M_{B}}\) sont les ELEMENTS DE REDUCTION du torseur au point \(B\) (point où est exprimé le moment). On indique toujours ce point d'expression, nommé POINT DE REDUCTION, en bas à droite du torseur.

On remarque que si les axes d'expression des torseurs ne sont pas indiqués à l'intérieur de celui-ci (notation horizontale), alors on indique le repère d'expression en bas à gauche (notation verticale), dans ce cas les composantes doivent bien toutes être dans le même repère.

Dans la notation horizontale, il n'est pas dérangeant de faire apparaître plusieurs repères différents.
2. Torseur d'Actions Mécaniques
Le torseur d'actions mécaniques s'écrit : $$\{\mathbb{F}_{ext\rightarrow S}\} = \left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{F_{A}} \\ \overrightarrow{M_{P}(\overrightarrow{F_{A}})}=\overrightarrow {PA} \wedge \overrightarrow{F_{A}} \end{array}\right\}_{P}$$ Avec pour résultante, la force, et pour moment, le moment de la force au point d'application du torseur.

Grâce à la relation de Varignon, il est possible de définir ce vecteur en n'importe quel autre point. On parle du TRANSPORT D'UN TORSEUR : $$\{\mathbb{F}_{ext\rightarrow S}\} = \left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{F_{A}} \\ \overrightarrow{M_{K}(\overrightarrow{F_{A}})}=\overrightarrow{M_{P}(\overrightarrow{F_{A}})} + \overrightarrow {KP} \wedge \overrightarrow{F_{A}} \end{array}\right\}_{K}$$
2.1. Torseur couple
Le TORSEUR COUPLE se définit par le torseur suivant, par exemple dans le cas d'un moteur : $$\{\mathbb{F}_{stator \rightarrow rotor}\} = \left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{C_{m}}\end{array}\right\}_{O} = \left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{C_{m}}\end{array}\right\}_{\forall P}$$ Si on souhaite le transporter, avec la relation de Varignon, la force étant nulle, on observe que le torseur est valable en tout point.
2.2. Torseur glisseur
Soit le torseur : $$\{\mathbb{F}_{ext \rightarrow S}\} = \left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R} \\ \overrightarrow{M_{A}}\end{array}\right\}_{A}$$ Ce torseur est appelé TORSEUR GLISSEUR si :
  • L'automoment est nul : \(\mathbb{A}=\overrightarrow{R}.\overrightarrow{M_{A}}=0\) ;
  • La résultante est non nulle : \(\overrightarrow{R}\neq \overrightarrow{0}\).
Dans cette configuration, le moment est donc toujours perpendiculaire à la résultante.
3. Torseurs des liaisons normalisées
Pour chacune des liaisons normalisées définies en Cinématique, il est possible de définir le torseur d'actions mécaniques (ou torseur d'actions transmissibles) correspondant.
Exemple d'une liaison linéaire rectiligne d'axe \(\overrightarrow{x}\) :
Pour faire le passage d'un torseur à l'autre, on remarque que les rotations et translations sont inversées ; et que suivant les axes où le solide ne bouge pas... il peut y avoir transmission d'une action mécanique.

Par usage, les 6 composantes d'un torseur d'actions mécaniques sont appelées INCONNUES DE LIAISONS, dans la mesure où elles sont définies, sans en connaître la valeur (potentiellement nulle).

Par convention, la force qui est présente dans une liaison est définit par les inconnues X, Y et Z, et le moment représenté par L, M, N, indicées par un chiffre qui reprend le numéro du solide extérieur sur le numéro du solide sur lequel il intervient. $$\{\mathbb{F}_{i\rightarrow j}\} = \left\{\begin{array}{cc} X_{ij} & L_{ij} \\ Y_{ij} & M_{ij} \\ Z_{ij} & N_{ij} \end{array}\right\}_{(O, b)}$$ L'indice \(ij\) signifie que c'est une action mécanique du solide \(i\) sur le solide \(j\).
Attention, l'ordre de cet indice est très important !!