STATIQUE 1 : MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES

1. Définitions
On appelle ACTION MECANIQUE (notée AM), toute cause susceptible de provoquer l'équilibre, le mouvement ou la déformation d'un système matériel.

Il existe deux types d'action mécanique :
  • La FORCE représenté par un vecteur noté \(\overrightarrow{F}\) lié à un point \(P\) (point d'application de la force).
    Unité : Newton (N) avec \(1~N = 1~kg.m.s^{-2}\)
  • Le MOMENT D'UNE FORCE qui représente la capacité d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point.
    Unité : Newton.mètre (N.m)
1.1. Classification des actions mécaniques
ACTIONS A DISTANCE ACTIONS DE CONTACT
Les actions mécaniques à distance ; qui s'exercent alors sur le volume du solide.
Exemple : action de pesanteur, action magnétique d'un aimant, etc.
Les actions mécaniques de contact ; qui s'appliquent directement sur la surface du solide (action surfacique, linéique ou ponctuelle).
Exemple : pression d'un fluide sur un solide, action de contact au niveau de liaisons entre solides, etc.
1.2. Différence entre MOMENT DE FORCE et COUPLE
On dit qu'un moteur fournit un COUPLE. C'est-à-dire que le rotor tourne grâce à l'action de 2 forces égales et opposées, qui s'annulent donc.

Si une seule force génère cette capacité à tourner, donc \(\overrightarrow{F} \neq \overrightarrow{0}\), on parle du MOMENT D'UNE FORCE.
2. Modélisations
2.1. Modélisation locale
Imaginons un barrage soumis à la pression de l'eau dans le cas de forces réparties non uniformément, il est nécessaire d'utiliser une modélisation locale, pour comprendre ce que doit subir une structure mécanique.

Procédé de la modélisation locale :

La surface de contact entre l'eau et le barrage est découpée en une infinité de surface élémentaire \(dS_{i}\) autour d'un point \(M_{i}\). Chacune des ces surfaces, indépendamment de ses voisines, subie une force élémentaire \(d\overrightarrow{F(M_{i})}\) issue de la pression de l'eau sur la surface élémentaire \(dS_{i}\). Dans cet exemple, la norme de la force élémentaire \(d\overrightarrow{F(M_{i})}\) dépend de la coordonnée du point \(M_{i}\) suivant l'axe \(\overrightarrow{z}\).

En définissant un point \(A\) sur la surface du barrage, chaque force élémentaire \(d\overrightarrow{F(M_{i})}\) tend à générer un moment élémentaire \(d\overrightarrow{M_{i}(A)}\) autour de ce point \(A\), que l'on peut calculer de la manière suivante : $$d\overrightarrow{M_{i}(A)}=\overrightarrow{AM_{i}} \wedge d\overrightarrow{F(M_{i})}$$
La MODELISATION LOCALE se résume donc par :
  • Une FORCE ELEMENTAIRE : \(d\overrightarrow{F(M_{i})}\) dépendant du point d'application \(M_{i}\).
  • Un MOMENT ELEMENTAIRE en un point \(A\) : \(d\overrightarrow{M_{i}(A)}=\overrightarrow{AM_{i}} \wedge d\overrightarrow{F(M_{i})}\).
2.2. Modélisation globale
La MODELISATION GLOBALE correspond à la somme sur la surface de la modélisation locale.

Il existe un point \(C\) sur la surface (ou sur la ligne, ou sur le volume, en fonction du système étudié), il existe :
  • Une FORCE globale : \(\overrightarrow{F_{ext\rightarrow solide}}=\int_{S} d\overrightarrow{F(M_{i})}\) valable en tout point d'application.
  • Un MOMENT DE FORCE en un point \(C\) : \(\overrightarrow{M_{C, ext\rightarrow solide}} = \int_{S} \overrightarrow{CM_{i}} \wedge d\overrightarrow{F(M_{i})}\).
La modélisation locale est nécessaire lors de l'étude de la résistance des matériaux. La modélisation globale est suffisante dans la plupart des applications de statiques en vue du dimensionnement de composants mécaniques.
3. Modèle des systèmes & Actions mécaniques
Pour étudier un système, le modèle se base sur :
  • Le schéma cinématique à travers l'utilisation des liaisons normalisées, avec son paramétrage.
  • Les forces représentées en modélisation globale.


En fonction du point d'observation d'un système, les actions mécaniques diffèrent :
Au point \(A\)... Au point \(P\)...
Force : \(\overrightarrow{F_{A}}\)
Moment : \(\overrightarrow{M_{A}(\overrightarrow{F_{A}})}=\overrightarrow{AA} \wedge \overrightarrow{F_{A}}=\overrightarrow{0}\)
Une force ne génère jamais de moment en son propre point d'application !!
Force : \(\overrightarrow{F_{A}}\)
Moment : \(\overrightarrow{M_{P}(\overrightarrow{F_{A}})}=\overrightarrow{PA} \wedge \overrightarrow{F_{A}}\)
Bras de levier
Il est également possible de calculer le moment d'une force grâce au bras de levier :
Le "bras de levier" est la distance la plus courte entre la direction de la force et le point de détermination du moment. $$\|\overrightarrow{M_{P}(\overrightarrow{F_{A}})}\|=\pm b.F_{A}$$ Avec une base directe, + en sens trigonométrique, - en sens horaire.

La rotation se faisant autour de l'axe \(\overrightarrow{z}\), le moment donne : $$\overrightarrow{M_{P}(\overrightarrow{F_{A}})}=\pm b.F_{A}.\overrightarrow{z}$$