LOGIQUE 2 : LOGIQUE COMBINATOIRE

Dans les systèmes automatisés simples, ne nécessitant pas d'asservissement particulier (système non soumis à des perturbations éventuelles), la partie commande est gérée grâce à la combinaison de deux types de logiques : la LOGIQUE COMBINATOIRE et la LOGIQUE SEQUENTIELLE. Bien que distinctes, elles vont rarement l'une sans l'autre.
1. Définitions
Un système est en LOGIQUE COMBINATOIRE quand, pour une combinaison d'entrées donnée, il ne correspond qu'une et une seule combinaison de sortie.

Le traitement de ces systèmes s'appuie sur un outil mathématique nommé ALGEBRE BINAIRE ou encore ALGEBRE DE BOOLE. On utilise alors de VARIABLES BINAIRES (qui ne peuvent prendre que les valeurs 0 ou 1) et on est amené à définir des FONCTIONS BOOLEENNES.
2. Algèbre de Boole - Opérateurs logiques
Un ensemble \(\{E\}\) possède une structure d'algèbre de Boole si on a définit dans cet ensemble les éléments suivants :
  • Une relation d'équivalence, notée \(=\) ;
  • Deux lois de composition interne, notées + (addition booléenne) et . (multiplication booléenne) ;
  • Une opération unaire : loi qui associe à tout élément \(a\) de \(E\), son complément \(\overline{a}\) (lu "a barre"), cette loi est appelée COMPLEMENTATION.
Relatif à... Fonction OU (+) Fonction ET (.)
Elément neutre 0 $$a+0=a$$ $$a.0=0$$
Elément neutre 1 $$a+1=1$$ $$a.1=a$$
Idempotence $$a+a=a$$ $$a.a=a$$
Complémentation $$a+\overline{a}=1$$ $$a.\overline{a}=0$$
Distributivité $$a.(b+c)=(a.b)+(a.c)$$ Théorème de De Morgan $$\overline{a+b}=\overline{a}.\overline{b}$$ $$\overline{a.b}=\overline{a}+\overline{b}$$
3. Outil de logique combinatoire - Table de Vérité
On peut établir la TABLE DE VERITE de la fonction logique, c'est un tableau qui représente l'état de la variable de sortie en fonction de l'état des différentes variables en entrée.

A partir d'une table de vérité, il est possible de déterminer l'équation logique qui permet d'obtenir les différentes sorties.
Démarche de détermination de l'équation logique à partir d'une table de vérité :

  • Etape 1 : pour la sortie que l'on cherche à déterminer, on regarde s'il y a une majorité de 0 ou de 1.
  • Etape 2 : si on a une minorité de 1, on détermine \(S\), si on a une minorité de 0, on déterminer \(\overline{S}\).
  • Etape 3 : dans un cas comme dans l'autre, on définit les conditions pour que la sortie soit à 0 ou à 1. Attention, il faut bien indiquer l'ensemble des conditions ; pour plus de simplicité, pensez à parler en ET et en OU.
Exemple sur la table de vérité précédente :
Pour \(S_{1}\), on voit qu'il y a un seul 0, donc on va déterminer \(\overline{S_{1}}\) : $$\overline{S_{1}}=a.\overline{b}$$ On peut aussi le déterminer avec les 1, on détermine alors \(S_{1}\) : $$S_{1}=\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.b+a.b$$