DYNAMIQUE 5 : THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE

Le Théorème de l'Energie Cinétique (TEC) appliqué à un solide permet d'obtenir une relation scalaire entre les paramètres cinématiques du mouvement, les caractéristiques d'inertie du solide et les actions mécaniques appliquées sur le solide.
1. Théorème de l'Energie Cinétique pour un ensemble de solides \(\Sigma\)
Il existe un repère galiléen \(R\) tel que pour un système \(\Sigma\) :
$$\mathbb{P}_{ext\rightarrow \Sigma/R}+\mathbb{P}_{int}=[\frac{dE_{c}(\Sigma/R)}{dt}]_{R}$$ Avec :
\(\mathbb{P}_{ext\rightarrow \Sigma/R}\) : puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures appliquées sur le système de solides \(\Sigma\).
\(\mathbb{P}_{int}\) : puissance des efforts intérieurs au système de solides \(\Sigma\).
\([\frac{dE_{c}(\Sigma/R)}{dt}]_{R}\) : variation par rapport au temps de l'énergie cinétique du système de solides \(\Sigma\) par rapport au repère galiléen.
Remarque : dans le cas d'un TEC appliqué à un seul solide, il n'y a pas de puissance des efforts intérieurs.
2. Energie Cinétique
2.1. Energie cinétique d'un point matériel
Par définition, l'énergie cinétique d'un système solide en mouvement par rapport à un référentiel galiléen \(R\) s'exprime : $$E_{C, S/R}=\frac{1}{2}.\int_{S}{\|\overrightarrow{V_{P, S/R}}\|^{2}.dm}$$ Dans le cas d'un point matériel de masse \(m_{P}\), on a : $$E_{C, S/R}=\frac{1}{2}.m_{P}.\|\overrightarrow{V_{P, S/R}}\|^{2}$$
2.2. Energie cinétique d'un solide
On démontre que l'énergie cinétique est le commoment du torseur cinétique et du torseur cinématique : $$E_{C, S/R}=\frac{1}{2}.\{\mathbb{C}_{S/R}\}.\{\mathbb{V}_{S/R}\}$$
2.3. Energie cinétique d'un ensemble de solides
L'énergie cinétique d'un système de solides \(\Sigma\) par rapport à un référentiel galiléen \(R\) est la somme des énergies cinétiques par rapport à un référentiel galiléen \(R\) des \(S_{i}\) solides : $$E_{C, \Sigma/R}=\sum_{i}{E_{C, S_{i}/R}}$$

Démarche de calcul pour déterminer l'énergie cinétique pour un système matériel \(\Sigma\) :

  • Etape 1 : on décompose le système de solides \(\Sigma\) en solides élémentaires \(S_{i}\). $$E_{C, \Sigma/R}=\sum_{i}{E_{C, S_{i}/R}}$$
  • Etape 2 : on calcule les différentes énergies cinétiques :
    • En \(O\), un point fixe de \(S/R\) : $$E_{C, S/R}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{\Omega_{S/R}}.I_{O}(S).\overrightarrow{\Omega_{S/R}}$$
    • Au point \(G\), centre d'inertie de \(S\) : $$E_{C, S/R}=\frac{1}{2}.m.\|\overrightarrow{V_{G,S/R}}\|^{2}+\frac{1}{2}.\overrightarrow{\Omega_{S/R}}.I_{G}(S).\overrightarrow{\Omega_{S/R}}$$
    • En un point \(A\) quelconque (cas rare) : $$E_{C, S/R}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{V_{A,S/R}}.\overrightarrow{R_{C,S/R}}+\frac{1}{2}.\overrightarrow{\Omega_{S/R}}.\overrightarrow{\sigma_{A,S/R}}$$
2.4. Inertie équivalente - Masse équivalente
Lorsqu'on détermine littéralement l'énergie cinétique d'un ensemble de solides qui appartiennent à une même chaîne cinématique, on peut parfois exprimer cette énergie cinétique en fonction d'un seul paramètre cinématique élevé au carré.
On peut alors faire apparaître un terme en facteur de \(1/2\) multiplié par ce paramètre cinématique au carré.
Ce terme en facteur correspond soit à une INERTIE EQUIVALENTE, soit à une MASSE EQUIVALENTE.
Soit \(1\), la classe d'équivalence correspondant à l'ensemble des pièces liées en rotation avec l'arbre moteur. On note \(\omega_{1}\) la vitesse de rotation de l'ensemble \(1\), et \(J_{1}\) son moment d'inertie par rapport à son axe de rotation.
Soit \(2\), la classe d'équivalence correspondant à l'ensemble des pièces liées en rotation avec l'arbre récepteur. On note \(\omega_{2}\) la vitesse de rotation de l'ensemble \(2\), et \(J_{2}\) son moment d'inertie par rapport à son axe de rotation.
Soit \(k=\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}\), le rapport de transmission.

On cherche l'inertie équivalente de l'ensemble \(\Sigma = 1+2\), ramenée sur l'arbre moteur. $$E_c(1+2) = E_c(1) + E_c(2) = \frac{1}{2}.J_1.\omega_1^2+\frac{1}{2}.J_2.\omega_2^2 = \frac{1}{2}.J_1.\omega_1^2+\frac{1}{2}.J_2.k^2.\omega_1^2 = \frac{1}{2}.(J_1 + J_2.k^2).\omega_1^2$$ On en déduit : $$J_{eq}=J_1 + J_2.k^2$$

Si le paramètre cinématique en fonction duquel l'énergie cinétique est exprimée, est la vitesse d'un solide qui est en translation, alors on parle de "masse équivalente".
Soit \(1\), la classe d'équivalence correspondant à l'ensemble des pièces liées en rotation avec l'arbre moteur. On note \(\omega_{1}\) la vitesse de rotation de l'ensemble \(1\), et \(J_{1}\) son moment d'inertie par rapport à son axe de rotation.
Soit \(2\), la classe d'équivalence correspondant à l'ensemble des pièces liées à la crémaillère de masse totale \(M_{2}\).
Expression de la vitesse de la crémaillère : $$V_{2}=R.\omega_{1}$$
On cherche la masse équivalente de l'ensemble \(\Sigma = 1+2\). $$E_c(1+2) = \frac{1}{2}.J_1.\omega_1^2 + \frac{1}{2}.M_2.V_2^2 = \frac{1}{2}.J_1.\frac{V_2^2}{R^2} + \frac{1}{2}.M_2.V_2^2 = \frac{1}{2} .(\frac{J_1}{R^2}+M_2).V_2^2$$ On en déduit : $$M_{eq}=\frac{J_1}{R^2}+M_2$$
3. Puissances
3.1. Puissance galiléenne d'une action mécanique extérieure sur un solide
La puissance galiléenne d'une action mécanique extérieure sur un solide \(S\) par rapport à un repère galiléen \(R\) est le commoment entre le torseur d'action mécanique et le torseur cinématique : $$\mathbb{P}_{ext \rightarrow S/R}=\{\mathbb{F}_{ext \rightarrow S}\}.\{\mathbb{V}_{S/R}\}$$ Dans le cas où le bâti est fixe par rapport à \(R\), et si les liaisons avec le bâti sont parfaites, la puissance développée par les actions mécaniques de liaison du bâti sur le système isolé est nulle.

Après application numérique, si \(\mathbb{P}_{ext \rightarrow S/R} > 0\), l'action mécanique est MOTRICE ; si \(\mathbb{P}_{ext \rightarrow S/R} < 0\), l'action mécanique est RECEPTRICE.
3.2. Puissance des efforts intérieurs
La puissance des efforts intérieurs entre un solide \(S_{i}\) et un solide \(S_{j}\) est le commoment entre le torseur d'action mécanique de \(S_{j}\) sur \(S_{i}\), et le torseur cinématique de \(S_{i}\) par rapport à \(S_{j}\) : $$\mathbb{P}_{int}=\mathbb{P}_{S_{j} \rightarrow S_{i}}=\{\mathbb{F}_{S_{j} \rightarrow S_{i}}\}.\{\mathbb{V}_{S_{i} \rightarrow S_{j}}\}$$ Dans le cas d'une liaison parfaite \(\mathbb{P}_{S_{i} \rightarrow S_{j}}=0\) pour tout mouvement compatible avec la liaison.

La puissance des efforts intérieurs est une puissance dissipée \(\mathbb{P}_{S_{i} \rightarrow S_{j}} < 0\).

Dans certains problèmes, la puissance perdue dans un mécanisme est donnée par le rendement \(\eta\) de ce mécanisme.
On a :
\(\mathbb{P}_{int}=\mathbb{P}_{S}-\mathbb{P}_{E}\) et \(\eta=\frac{\mathbb{P}_{S}}{\mathbb{P}_{E}}\) donc \(\mathbb{P}_{int}=\mathbb{P}_{E}.(\eta-1)\).