DYNAMIQUE 4 : EQUILIBRAGE DYNAMIQUE

L'EQUILIBRAGE DYNAMIQUE concerne les pièces en mouvement de rotation autour d'un axe fixe dans un repère galiléen. C'est donc le cas de la plupart des machines tournantes (moteurs électriques par exemple), mais également des roues de voiture.
Si le système n'est pas équilibré dynamiquement, cela va générer des vibrations dans l'ensemble du mécanisme, donc du bruit et éventuellement une usure plus rapide des organes de guidage en rotation.
1. Schématisation adoptée
Le bâti \(S_0\) est lié au repère galiléen \(R_0(O, \overrightarrow{{x}_{0}}, \overrightarrow{{y}_{0}}, \overrightarrow{{z}_{0}})\).
Le solide \(S_1\) de masse \(m\), de centre d'inertie \(G\) est en liaison pivot d'axe \((O, \overrightarrow{{z}_{0}})\) avec le bâti \(S_0\).
Le repère \(R_1(O, \overrightarrow{{x}_{1}}, \overrightarrow{{y}_{1}}, \overrightarrow{{z}_{0}})\) est lié à \(S_1\) et est choisi tel que \(G\) soit dans le plan \((\overrightarrow{{x}_{1}}, \overrightarrow{{z}_{0}})\).
On pose \((\overrightarrow{{x}_{0}}, \overrightarrow{{x}_{1}})=\theta\), et \(\overrightarrow{OG} = a.\overrightarrow{x}_{1} + C.\overrightarrow{z}_{0}\).
Le solide \(S_1\) étant quelconque, la matrice d'inertie est de la forme : $$I(O, S_1) = \begin{bmatrix}A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C\end{bmatrix}_{b_1}$$
Le milieu extérieur exerce sur \(S_1\) des actions mécaniques qui peuvent être quelconques. On modélise cette action par le torseur : $$\{\mathbb{T}_{ext\fl S_1}\}=\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R}_{ext \rightarrow S_1}==X_{e1}.\overrightarrow{x}_{1} + Y_{e1}.\overrightarrow{y}_{1} + Z_{e1}.\overrightarrow{z}_{0} \\ \overrightarrow{M_{O,ext \rightarrow S_1}}=L_{e1}.\overrightarrow{x}_{1} + M_{e1}.\overrightarrow{y}_{1} + N_{e1}.\overrightarrow{z}_{0} \end{array}\right\}_{O}$$ La liaison pivot exerce également une action qui se modélise dans le cas d'une liaison parfaite par le torseur suivant : $$\{\mathbb{T}_{S_0 \fl S_1}\}=\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R}_{S_0 \rightarrow S_1}==X_{01}.\overrightarrow{x}_{1} + Y_{01}.\overrightarrow{y}_{1} + Z_{01}.\overrightarrow{z}_{0} \\ \overrightarrow{M_{O,S_0 \rightarrow S_1}}=L_{01}.\overrightarrow{x}_{1} + M_{01}.\overrightarrow{y}_{1} \end{array}\right\}_{O}$$ On souhaite déterminer ces inconnues de liaison, on suppose que l’on connaît les actions exercées par le milieu extérieur.

On applique donc le PFD au solide \(S_1\) dans son mouvement par rapport à \(R_0\). $$\{\mathbb{D}_{S_0 / S_1}\} = \{\mathbb{T}_{S_0 \rightarrow S_1}\} + \{\mathbb{T}_{ext \rightarrow S_1}\}$$ Il faut donc déterminer le torseur dynamique :
Calculons la résultante dynamique : \(\begin{eqnarray} \overrightarrow{V_{G, S_1/R_0}} &=& [\frac{d\overrightarrow{OG}}{dt}]_{R_0} = a.\dot{\theta}.\overrightarrow{y}_{1} \nonumber \\ \overrightarrow{\Gamma_{G, S_1/R_0}} &=& [\frac{d\overrightarrow{V_{G, S_1/R_0}}}{dt}]_{R_0} = -a.\dot{\theta}^2.\overrightarrow{x}_{1} + a.\ddot{\theta}.\overrightarrow{y}_{1} \nonumber \\ \overrightarrow{R_{d, S_1/R_0}} &=& m.\overrightarrow{\Gamma_{G, S_1/R_0}} \nonumber \end{eqnarray}\)
Calculons le moment dynamique au point \(O\) : \(\begin{eqnarray} \overrightarrow{\delta_{O, S_1/R_0}} &=& [\frac{d\overrightarrow{\sigma_{O, S_1/R_0}}}{dt}]_{R_0} \nonumber \\ \overrightarrow{\sigma_{O, S_1/R_0}} &=& I(O, S_1).\overrightarrow{\Omega_{S_1/R_0}}\text{ avec } \overrightarrow{\Omega_{S_1/R_0}} = \dot{\theta}.\overrightarrow{z}_{0} \nonumber \\ &=& -E.\dot{\theta}.\overrightarrow{x}_{1} - D.\dot{\theta}.\overrightarrow{y}_{1} + C.\dot{\theta}.\overrightarrow{z}_{0} \nonumber \\ \overrightarrow{\delta_{O, S_1/R_0}} &=& (-E.\ddot{\theta} + D.\dot{\theta}^2).\overrightarrow{x}_{1} - (D.\ddot{\theta}+E.\dot{\theta}^2).\overrightarrow{y}_{1} + C.\ddot{\theta}.\overrightarrow{z}_{0} \nonumber \end{eqnarray}\)
Les deux équations vectorielles issues du PFD en projection dans la base \(b_1\) nous donnent donc les 6 équations scalaires suivantes : $$\begin{eqnarray} -m.a.\dot{\theta}^2 &=& X_{01} + X_{e1} \nonumber \\ m.a.\ddot{\theta} &=& Y_{01} + Y_{e1} \nonumber \\ 0 &=& Z_{01} + Z_{e1} \nonumber \\ -E.\ddot{\theta} + D.\dot{\theta}^2 &=& L_{01} + L_{e1} \nonumber \\ -(D.\ddot{\theta} + E.\dot{\theta}^2) &=& M_{01} + M_{e1} \nonumber \\ C.\ddot{\theta} &=& N_{e1} \nonumber \end{eqnarray}$$
2. Conditions d'équilibrage
Pour éviter les vibrations, il faut rendre l'action mécanique dans la liaison entre \(S_0\) et \(S_1\) aussi constante que possible, et en particulier, il faut qu'elle soit indépendante de \(\dot{\theta}\) et \(\ddot{\theta}\).
Il faut donc que :
  • \(a=0\) : le centre d'inertie doit être sur l'axe de rotation \(\Rightarrow\) condition d'EQUILIBRAGE STATIQUE ;
  • \(D=0\) et \(E=0\) : l'axe de rotation doit être un axe principal d'inertie pour \(S_1 \Rightarrow\) condition d'EQUILIBRAGE DYNAMIQUE.
Les 2 masses ne sont pas à la même distance de l'axe de rotation. Les 2 masses sont à la même distance de l'axe. Les 2 masses sont en face l'une de l'autre.
Pas d'équilibrage. Equilibrage statique Equilibrage statique et dynamique
3. Réalisation de l'équilibrage dynamique
Pour réaliser l'équilibrage dans l'exemple précédent, on a déplacé les masses ponctuelles.
On peut également envisager de rajouter d'autres masses ponctuelles afin de réaliser l'équilibrage statique et dynamique.

On appelle \(S_2\) et \(S_3\), les deux masses ponctuelles, que l'on va fixer sur le solide \(S_1\).
On appelle \(M_2\) et \(M_3\) les points où sont placées ces deux masses.
$$\begin{eqnarray} \overrightarrow{OM_2} &=& x_2.\overrightarrow{x}_{1} + y_2.\overrightarrow{y}_{1} + z_2.\overrightarrow{z}_{0} \nonumber \\ \overrightarrow{OM_3} &=& x_3.\overrightarrow{x}_{1} + y_3.\overrightarrow{y}_{1} + z_3.\overrightarrow{z}_{0} \nonumber \end{eqnarray}$$ Par définition du centre d'inertie du solide \(S_e = S_1 + S_2 + S_3\), on a : $$(m_1 + m_2 + m_3).\overrightarrow{OG_e}=m.\overrightarrow{OG}+m_2.\overrightarrow{OM_2}+m_3.\overrightarrow{OM_3}$$ Pour que \(G_e\) soit sur l'axe \((O, \overrightarrow{z}_{0})\), on doit donc avoir en projectant cette relation sur \(\overrightarrow{x}_{1}\) et \(\overrightarrow{y}_{1}\) : $$\begin{eqnarray} m.a + m_2.x_2 + m_3.x_3 &=& 0 \\ m_2.y_2 + m_3.y_3 &=& 0 \end{eqnarray}$$ Les produits d'inertie \(D_e\) et \(E_e\) valent (application du théorème de Huygens) : $$\begin{eqnarray} D + m_2.y_2.z_2 + m_3.y_3.z_3 &=& D_e \nonumber \\ E + m_2.x_2.z_2 + m_3.x_3.z_3 &=& E_e \nonumber \end{eqnarray}$$

La condition d'équilibrage dynamique impose que \(D_e\) et \(E_e\) soient nuls, ce qui se traduit par : $$\begin{eqnarray} D + m_2.y_2.z_2 + m_3.y_3.z_3 &=& 0 \\ E + m_2.x_2.z_2 + m_3.x_3.z_3 &=& 0 \end{eqnarray}$$
Remarques :
  • Si \(D \neq 0\), on a besoin des 2 masses pour faire l'équilibrage, car si \(m_3 = 0\), la relation (2) impose \(y_2=0\) ce qui ne permet pas de rendre la relation (3) vraie.
  • On dispose de 4 équations et de 8 inconnues (masses + coordonnées de \(S_2\) et \(S_3\)). On a donc une infinité de solution.