DYNAMIQUE 3 : PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE

1. Torseur Cinétique d'un solide
1.1. Définition
Les éléments de réduction du torseur cinétique correspondent à la somme de toutes les quantités de mouvement des points d'un solide.

Par définition, on a :
\( \{\mathbb{C}_{S/R}\}=\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R_{\mathbb{C}, S/R}} \\ \overrightarrow{\sigma_{A, S/R}} \end{array}\right\}_{A} =\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R_{\mathbb{C}, S/R}}=\int_{S}{\overrightarrow{V_{P,S/R}}.dm} \\ \overrightarrow{\sigma_{A, S/R}}=\int_{S}{\overrightarrow{AP} \wedge \overrightarrow{V_{P,S/R}}.dm} \end{array}\right\}_{A} \)
Avec :
\(\overrightarrow{R_{\mathbb{C}, S/R}}\), la résultante cinétique (quantité de mouvement en translation).
\(\overrightarrow{\sigma_{A, S/R}}\), le moment cinétique en \(A\) (quantité de mouvement de rotation).

On démontre que :
Torseur cinétique du solide \(S\) par rapport au repère \(R\), défini au point \(A\) :
\( \{\mathbb{C}_{S/R}\} =\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R_{\mathbb{C}, S/R}}=m.\overrightarrow{V_{G,S/R}} \\ \overrightarrow{\sigma_{A, S/R}}=m.\overrightarrow{AG} \wedge \overrightarrow{V_{A,S/R}}+I_{A}(S).\overrightarrow{\Omega_{S/R}} \end{array}\right\}_{A} \)
N.B. : \(I_{A}(S).\overrightarrow{\Omega_{S/R}}\) est un vecteur obtenu par multiplication de la matrice d'inertie du solide \(S\) en \(A\), et du vecteur rotation, ces deux grandeurs doivent donc être exprimées dans la même base.

Cas particuliers :
  • Moment cinétique dans le cas où \(A=G\), centre d'inertie du solide \(S\) : $$\overrightarrow{\sigma_{G, S/R}}=m.\underbrace{\overrightarrow{GG}}_{\overrightarrow{0}} \wedge \overrightarrow{V_{G,S/R}}+I_{G}(S).\overrightarrow{\Omega_{S/R}}=I_{G}(S).\overrightarrow{\Omega_{S/R}}$$
  • Moment cinétique dans le cas où \(A=O\), point fixe du solide \(S\) par rapport au repère \(R\) : $$\overrightarrow{\sigma_{O, S/R}}=m.\overrightarrow{OG} \wedge \underbrace{\overrightarrow{V_{O,S/R}}}_{\overrightarrow{0}}+I_{O}(S).\overrightarrow{\Omega_{S/R}}=I_{O}(S).\overrightarrow{\Omega_{S/R}}$$
1.2. Torseur Cinétique d'un système de solides \(\Sigma\)

Démarche de calcul pour déterminer le torseur cinétique en un point \(A\) pour un système matériel \(\Sigma\) :

  • Etape 1 : on décompose le système de solides \(\Sigma\) en solides élémentaires \(S_{i}\). $$\{\mathbb{C}_{\Sigma/R}\}=\sum_{i}{\{\mathbb{C}_{S_{i}/R}\}}$$
  • Etape 2 : pour additionner des torseurs entre eux, ceux-ci doivent être exprimés au même point.
    Si la résultante cinétique \(\overrightarrow{R_{\mathbb{C}, S/R}}\) est connue : comme tout torseur, le torseur Cinétique peut être transporter par la Relation de Varignon. $$\overrightarrow{\sigma_{A, S/R}}=\overrightarrow{\sigma_{G, S/R}}+\overrightarrow{AG} \wedge \overrightarrow{R_{\mathbb{C}, S/R}}$$ Sinon, le calcul direct doit être privilégié : $$\overrightarrow{\sigma_{A, S/R}}=m.\overrightarrow{AG} \wedge \overrightarrow{V_{A, S/R}}+I_{A}(S).\overrightarrow{\Omega_{S/R}}$$
2. Torseur Dynamique d'un solide
2.1. Définition
Les éléments de réduction du torseur dynamique correspondent à la somme de toutes les quantités d'accélération des points d'un solide.

Par définition, on a :
\(\{\mathbb{D}_{S/R}\}=\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R_{d, S/R}} \\ \overrightarrow{\delta_{A, S/R}} \end{array}\right\}_{A} =\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R_{d, S/R}}=\int_{S}{\overrightarrow{\Gamma_{P,S/R}}.dm} \\ \overrightarrow{\delta_{A, S/R}}=\int_{S}{\overrightarrow{AP} \wedge \overrightarrow{\Gamma_{P,S/R}}.dm} \end{array}\right\}_{A}\)
Avec :
\(\overrightarrow{R_{d, S/R}}\), la résultante dynamique (quantité d'accélération en translation).
\(\overrightarrow{\delta_{A, S/R}}\), le moment cinétique en \(A\) (quantité d'accélération de rotation).

On démontre que :
Torseur dynamique du solide \(S\) par rapport au repère \(R\), défini au point \(A\) :
\(\{\mathbb{D}_{S/R}\} =\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R_{d, S/R}}=m.\overrightarrow{\Gamma_{G,S/R}} \\ \overrightarrow{\delta_{A, S/R}}=m.\overrightarrow{V_{A/R}} \wedge \overrightarrow{V_{G,S/R}}+[\frac{d\overrightarrow{\sigma_{A, S/R}}}{dt}]_{R} \end{array}\right\}_{A}\)
N.B. : Le calcul du moment dynamique fait intervenir le vecteur vitesse du point \(A\) par rapport à \(R\), \(\overrightarrow{V_{A/R}}\), et non le vecteur vitesse du point \(A\in S\) par rapport à \(R\), \(\overrightarrow{V_{A\in S/R}\).

Cas particuliers :
  • Moment cinétique dans le cas où \(A=G\), centre d'inertie du solide \(S\) : $$\overrightarrow{\delta_{G, S/R}}=\underbrace{m.\overrightarrow{V_{G/R}} \wedge \overrightarrow{V_{G,S/R}}}_{\overrightarrow{0} \text{ car }\overrightarrow{V_{G/R}}=\overrightarrow{V_{G,S/R}}}+[\frac{d\overrightarrow{\sigma_{G, S/R}}}{dt}]_{R}=[\frac{d\overrightarrow{\sigma_{G, S/R}}}{dt}]_{R}=I_G(S).[\frac{d\overrightarrow{\Omega(S/R)}}{dt}]_{R}$$
  • Moment cinétique dans le cas où \(A=O\), point fixe du solide \(S\) par rapport au repère \(R\) : $$\overrightarrow{\delta_{O, S/R}}=m.\underbrace{\overrightarrow{V_{O/R}}}_{\overrightarrow{0}} \wedge \overrightarrow{V_{G,S/R}}+[\frac{d\overrightarrow{\sigma_{O, S/R}}}{dt}]_{R}=[\frac{d\overrightarrow{\sigma_{O, S/R}}}{dt}]_{R}=I_O(S).[\frac{d\overrightarrow{\Omega(S/R)}}{dt}]_{R}$$
2.2. Torseur Dynamique d'un système de solides \(\Sigma\)

Démarche de calcul pour déterminer le torseur dynamique en un point \(A\) pour un système matériel \(\Sigma\) :

  • Etape 1 : on décompose le système de solides \(\Sigma\) en solides élémentaires \(S_{i}\). $$\{\mathbb{D}_{\Sigma/R}\}=\sum_{i}{\{\mathbb{D}_{S_{i}/R}\}}$$
  • Etape 2 : pour additionner des torseurs entre eux, ceux-ci doivent être exprimés au même point.
    Si la résultante dynamique \(\overrightarrow{R_{d, S/R}}\) est connue : comme tout torseur, le torseur Dynamique peut être transporter par la Relation de Varignon. $$\overrightarrow{\delta_{A, S/R}}=\overrightarrow{\delta_{G, S/R}}+\overrightarrow{AG} \wedge \overrightarrow{R_{d, S/R}}$$ Sinon, le calcul direct doit être privilégié : $$\overrightarrow{\delta_{A, S/R}}=m.\overrightarrow{V_{A/R}} \wedge \overrightarrow{V_{G,S/R}}+[\frac{d\overrightarrow{\sigma_{A, S/R}}}{dt}]_{R}$$
3. Principe Fondamental de la Dynamique
Dans le cas général, le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) permet d'établir une relation entre les actions mécaniques qui sont appliquée à un ensemble matériel (E) et les quantités d'accélération qui en résultent selon toutes les directions de l'espace.
3.1. Référentiel Galiléen
Un référentiel Galiléen est l'association d'un repère géométrique et d'un repère temporel pour lequel le PFD est vrai. On considère Galiléen :
  • Tout repère fixe par rapport à la Terre.
  • Ou tout repère en mouvement de translation rectiligne uniforme (vitesse constante) par rapport à la Terre.
3.2. Théorèmes généraux

Théorème de la Résultante Dynamique :

$$\overrightarrow{R_{d, S/R}}=\overrightarrow{R_{\bar{E}\rightarrow E}}$$

Théorème du Moment Dynamique :

$$\overrightarrow{\delta_{A, S/R}}=\overrightarrow{M_{A(\bar{E}\rightarrow E)}}$$

Enoncé général du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) :

$$\{\mathbb{D}_{S/R}\}=\{F_{\bar{E} \rightarrow E}\} \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R_{d, S/R}} \\ \overrightarrow{\delta_{A, S/R}} \end{array}\right\}_{A} =\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R_{\bar{E} \rightarrow E}} \\ \overrightarrow{M_{A(\bar{E} \rightarrow E)}} \end{array}\right\}_{A}$$
3.3. Application du PFD

Démarche de calcul pour appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique :

  • Etape 1 : on isole le solide ou l'ensemble de solides à étudier.
  • Etape 2 : on calcule le moment Cinétique en fonction des données du problème.
  • Etape 3 : on calcule le torseur Dynamique (résultante et moment) en fonction des données du problème.
  • Etape 4 : on effectue le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures appliqué au solide isolé. On exprime les différents torseurs des actions mécaniques au point du torseur Dynamique.
  • Etape 5 : on applique le Principe Fondamental de la Dynamique, et on résout.
Il sera parfois nécessaire d'isoler différents solides successifs, et d'appliquer cette démarche plusieurs fois (comme on peut le faire en Statique).