DYNAMIQUE 2 : GEOMETRIE DES MASSES & OPERATEUR D'INERTIE

1. Masse d'un solide indéformable
1.1. Système à masse conservative
Un système matériel \(\Sigma\) est constitué d'un ensemble de points \(P\) de masse élémentaire \(dm(P)\).

La masse du système matériel \(m(\Sigma)\) est alors donnée par, exprimée en \(kg\) : $$m(\Sigma)=\int_{P\in \Sigma}dm(P)$$ La masse est positive et additive : $$m(\Sigma_{1} \bigcup \Sigma_{2})=m(\Sigma_{1})+m(\Sigma_{2})$$.

Un système est à masse conservative si sa masse est constante au cours du temps.
A noter que la masse élémentaire \(dm(P)\) est définie en fonction de la nature de la modélisation du système matériel étudié :
  • Modélisation volumique : \(dm(P)=\rho_{V}(P).dV\).
  • Modélisation surfacique : \(dm(P)=\rho_{S}(P).dS\).
  • Modélisation linéique : \(dm(P)=\rho_{L}(P).dL\).
1.2. Centre d'inertie - Centre de gravité
On appelle CENTRE D'INERTIE le point \(G_{\Sigma}\) qui vérifie la relation : $$\int_{P\in \Sigma}\overrightarrow{G_{\Sigma}P}.dm(P)=\overrightarrow{0}$$ On peut alors écrire : $$\int_{P\in \Sigma}\overrightarrow{G_{\Sigma}O}+\overrightarrow{OP}.dm(P)=\overrightarrow{0} \Rightarrow m_{\Sigma}.\overrightarrow{OG_{\Sigma}}=\int_{P\in \Sigma}\overrightarrow{OP}.dm(P)$$ Dans la pratique, comme on fait l'hypothèse d'un champ de pesanteur constant en tout point, le centre d'inertie \(G_{\Sigma}\) est confondu avec le CENTRE DE GRAVITE \(G\).
Démarche de calcul pour la détermination du centre de gravité d'un système matériel \(\Sigma\) :

Dans tous les cas étudiés, on posera l'hypothèse que les solides sont homogènes.
  • Etape 1 : on étudie les symétries :
    • Si il existe un point de symétrie pour \(\Sigma\), alors \(G\) est ce point.
    • Si il existe un axe de symétrie pour \(\Sigma\), alors \(G\) est sur cet axe.
    • Si il existe un plan de symétrie pour \(\Sigma\), alors \(G\) est dans ce plan.
  • Etape 2 : on décompose le système matériel \(\Sigma\) en solides élémentaires \(S_{i}\), dont on étudie à nouveau leurs propres symétries.
  • Etape 3 : de manière simplifiée, on utilise la formule du barycentre \(M_{tot}.\overrightarrow{OG}=\sum_{i}m_{i}.\overrightarrow{OG_{i}}\) projetée sur les axes choisis : $$M_{tot}.x_{G}=\sum_{i}m_{i}.x_{G_{i}} \text{ ; }M_{tot}.y_{G}=\sum_{i}m_{i}.y_{G_{i}} \text{ ; } M_{tot}.z_{G}=\sum_{i}m_{i}.z_{G_{i}}$$
2. Opérateurs d'inertie et Matrice d'inertie d'un solide
2.1. Opérateur d'inertie
On appelle OPERATEUR D'INERTIE \(I(O,S)\) au point \(O\) d'un solide \(S\), l'opérateur qui à tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) de l'espace associe le vecteur : $$\overrightarrow{I_{(O,S)}(\overrightarrow{u})}=\int_{P\in S}{(\overrightarrow{OP} \wedge(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{OP})).dm}$$ L'opérateur d'inertie permet de synthétiser l'ensemble des caractéristiques d'inertie d'un solide : il définit la répartition d'un solide indéformable autour d'un de ses points.
2.2. Matrice d'inertie
Soit \((O,\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y},\overrightarrow{z})\) un repère, \(P\) un point du solide \(S\), avec \(\overrightarrow{OP}=x.\overrightarrow{x}+y.\overrightarrow{y}+z.\overrightarrow{z}\), et \(\overrightarrow{u}=\alpha.\overrightarrow{x}+\beta.\overrightarrow{y}+\gamma.\overrightarrow{z}\) un vecteur.

L'image de cette application linéaire est une matrice appelée MATRICE D'INERTIE du solide \(S\) en \(O\) : $$I_{(O,S)}= \begin{bmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{bmatrix}_{O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}}= \begin{bmatrix} I_{Ox} & -P_{xy} & -P_{xz} \\ -P_{xy} & I_{Oy} & -P_{yz} \\ -P_{xz} & -P_{yz} & I_{Oz} \end{bmatrix}_{O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}} $$ Avec :
Moments d'inertie Produits d'inertie
Moment d'inertie de \(S\) par rapport à l'axe \((O,\overrightarrow{x})\) : $$A=I_{Ox}=\int_{P\in S}{(y^{2}+z^{2}).dm}$$ Produit d'inertie de \(S\) par rapport aux axes \((O,\overrightarrow{y})\) et \((O,\overrightarrow{z})\) : $$D=P_{yz}=\int_{P\in S}{(y.z).dm}$$
Moment d'inertie de \(S\) par rapport à l'axe \((O,\overrightarrow{y})\) : $$B=I_{Oy}=\int_{P\in S}{(x^{2}+z^{2}).dm}$$ Produit d'inertie de \(S\) par rapport aux axes \((O,\overrightarrow{x})\) et \((O,\overrightarrow{z})\) : $$E=P_{xz}=\int_{P\in S}{(x.z).dm}$$
Moment d'inertie de \(S\) par rapport à l'axe \((O,\overrightarrow{z})\) : $$C=I_{Oz}=\int_{P\in S}{(x^{2}+y^{2}).dm}$$ Produit d'inertie de \(S\) par rapport aux axes \((O,\overrightarrow{y})\) et \((O,\overrightarrow{x})\) : $$F=P_{xy}=\int_{P\in S}{(x.y).dm}$$

Forme élémentaire Matrice d'inertie
Cylindre plein de masse \(m\), de longueur \(L\) et de rayon \(R\), possédant une symétrie de révolution d'axe \((O, \overrightarrow{z})\) $$I_{(G,S)}= \begin{bmatrix} m.(\frac{R^{2}}{4}+\frac{L^{2}}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & m.(\frac{R^{2}}{4}+\frac{L^{2}}{12}) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{m.R^{2}}{2} \end{bmatrix}_{\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}} $$
Sphère pleine de masse \(m\) et de rayon \(R\) $$I_{(G,S)}= \begin{bmatrix} \frac{2.m.R^{2}}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2.m.R^{2}}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2.m.R^{2}}{5} \end{bmatrix}_{\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}}$$
Parallélépipède de masse \(m\) et de dimensions \(a\), \(b\) et \(c\) $$I_{(G,S)}= \begin{bmatrix} \frac{m}{12}.(a^{2}+b^{2}) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{m}{12}.(a^{2}+c^{2}) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{m}{12}.(b^{2}+c^{2}) \end{bmatrix}_{\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}}$$
2.3. Propriétés des matrices d'inertie
La matrice d'inertie est une matrice symétrique dont :
  • Les valeurs propres de la matrice sont réelles ;
  • Il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice est diagonale.

Il existe ainsi pour tout point \(A\) une base orthogonale de vecteurs propres \(B'=(\overrightarrow{x'}, \overrightarrow{y'},\overrightarrow{z'})\).
Dans cette base, la matrice d'inertie du solide \(S\) au point \(A\) est une matrice diagonale : $$I_{(A,S)}= \begin{bmatrix} A' & 0 & 0 \\ 0 & B' & 0 \\ 0 & 0 & C' \end{bmatrix}_{O,\overrightarrow{x'},\overrightarrow{y'},\overrightarrow{z'}}$$ La base \(B'\) est appelée BASE PRINCIPALE D'INERTIE au point \(A\).
Les axes \((A,\overrightarrow{x})\), \((A,\overrightarrow{y})\) et \((A,\overrightarrow{z})\) sont les AXES PRINCIPAUX D'INERTIE, et \(A'\),\(B'\) et \(C'\) les MOMENTS PRINCIPAUX D'INERTIE.
  • Pour tous les solides présentant des symétries dans la répartition des masses, il est facile de déterminer les axes principaux en s'appuyant sur ces symétries.
  • Si le point d'écriture est le centre d'inertie, on parle de BASE CENTRALE et de MOMENTS CENTRAUX D'INERTIE. Les moments centraux d'inertie sont minima.
Caractéristique du solide, et forme de sa matrice d'inertie
Solide avec 1 plan de symétrie $$I_{(O,S)}= \begin{bmatrix} I_{Ox} & -P_{xy} & 0 \\ -P_{xy} & I_{Oy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{Oz} \end{bmatrix}_{O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}}$$
Solide avec 2 plans de symétrie $$I_{(O,S)}= \begin{bmatrix} I_{Ox} & 0 & 0 \\ 0 & I_{Oy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{Oz} \end{bmatrix}_{O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}}$$
Solide avec une symétrie de révolution $$I_{(O,S)}= \begin{bmatrix} I_{Ox}=I_{Oy} & 0 & 0 \\ 0 & I_{Oy}=I_{Ox} & 0 \\ 0 & 0 & I_{Oz} \end{bmatrix}_{O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}}$$
Solide plan d'épaisseur négligeable $$I_{(O,S)}= \begin{bmatrix} I_{Ox} & -P_{xy} & 0 \\ -P_{xy} & I_{Oy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{Ox}+I_{Oy} \end{bmatrix}_{O,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}}$$
2.4. Détermination de la matrice d'inertie d'un ensemble complexe
Pour déterminer la matrice d'inertie d'un ensemble complexe, il est possible d'additionner deux matrices d'inertie, à deux conditions : si elles sont exprimées au même point et dans la même base.
Transport de matrice d'inertie - Théorème de Huygens
On détermine le plus souvent la matrice d'inertie au centre de gravité du solide. Il est possible de la transporter en n'importe quel autre point du solide en utilisant le THEOREME DE HUYGENS.
Enoncé du Théorème de Huygens :

Soit \(\overrightarrow{AG}=x_{G}.\overrightarrow{x_{0}}+y_{G}.\overrightarrow{y_{0}}+z_{G}.\overrightarrow{z_{0}}\) : $$I_{A}(S)=I_{G}(S)+I_{A}(m \rightarrow G)$$ Soit : $$\begin{bmatrix} A_{A} & -F_{A} & -E_{A} \\ -F_{A} & B_{A} & -D_{A} \\ -E_{A} & -D_{A} & C_{A} \end{bmatrix}_{b}=\begin{bmatrix} A_{G} & -F_{G} & -E_{G} \\ -F_{G} & B_{G} & -D_{G} \\ -E_{G} & -D_{G} & C_{G} \end{bmatrix}_{b}+m.\begin{bmatrix} (y_{G}^{2}+z_{G}^{2}) & -(x_{G}.y_{G}) & -(x_{G}.z_{G}) \\ -(x_{G}.y_{G}) & (x_{G}^{2}+z_{G}^{2}) & -(y_{G}.z_{G}) \\ -(x_{G}.z_{G}) & -(y_{G}.z_{G}) & (x_{G}^{2}+y_{G}^{2}) \end{bmatrix}_{b}$$
L'opérateur d'inertie d'un solide \(S\) en un point \(A\) est la somme de :
  • L'opérateur d'inertie en \(G\) (centre d'inertie du solide).
  • L'opérateur d'inertie en \(A\) du solide, dont la masse serait concentrée en \(G\).
Démarche de calcul pour la détermination de la matrice d'inertie d'un système matériel $\Sigma$ :

Dans tous les cas étudiés, on posera l'hypothèse que les solides sont homogènes.
  • Etape 1 : on étudie les symétries :
    • Si un axe de la base \(b\) est un axe de symétrie, cet axe est principal d'inertie.
    • Si le système \(\Sigma\) a un plan de symétrie dans la base \(b\), l'axe perpendiculaire au plan de symétrie est axe principal d'inertie.
    • Si le système \(\Sigma\) a deux plans de symétrie dans la base \(b\), la matrice d'inertie est diagonale.
  • Etape 2 : on décompose le système matériel \(\Sigma\) en solides élémentaires \(S_{i}\), dont on étudie à nouveau leurs propres symétries.
  • Etape 3 : pour chaque solide élémentaire \(S_{i}\), on détermine la matrice d'inertie en un point privilégié \(G_{i}\), dans la base privilégiée \(b_{i}\).
  • Etape 4 : pour chaque solide élémentaire \(S_{i}\), on ramène la matrice d'inertie au point \(A\) dans la base \(b\) par transport avec le Théorème de Huygens \(I_{A}(S_{i})=I_{G}(S_{i})+I_{A}(m_{i} \rightarrow G_{i})\).
  • Etape 5 : on additionne les matrices écrites au même point et dans la même base \(I_{A}(\Sigma)=\sum_{i}{I_{A}(S_{i})}\).