DYNAMIQUE 1 : MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES

Pour avoir le cours plus détaillé de ce chapitre, référez vous aux chapitres de la partie Statique.
1. Modélisations
1.1. Modélisation locale
La MODELISATION LOCALE se résume donc par :
  • Une FORCE ELEMENTAIRE : \(d\overrightarrow{F(M_{i})}\) dépendant du point d'application \(M_{i}\).
  • Un MOMENT ELEMENTAIRE en un point \(A\) : \(d\overrightarrow{M_{i}(A)}=\overrightarrow{AM_{i}} \wedge d\overrightarrow{F(M_{i})}\).
1.2. Modélisation globale
La MODELISATION GLOBALE correspond à la somme sur la surface de la modélisation locale.

Il existe un point \(C\) sur la surface (ou sur la ligne, ou sur le volume, en fonction du système étudié), il existe :
  • Une FORCE globale : \(\overrightarrow{F_{ext\rightarrow solide}}=\int_{S} d\overrightarrow{F(M_{i})}\) valable en tout point d'application.
  • Un MOMENT DE FORCE en un point \(C\) : \(\overrightarrow{M_{C, ext\rightarrow solide}} = \int_{S} \overrightarrow{CM_{i}} \wedge d\overrightarrow{F(M_{i})}\).
La modélisation locale est nécessaire lors de l'étude de la résistance des matériaux. La modélisation globale est suffisante dans la plupart des applications de statiques en vue du dimensionnement de composants mécaniques.
2. Modèle des systèmes & Actions mécaniques
Pour étudier un système, le modèle se base sur :
  • Le schéma cinématique à travers l'utilisation des liaisons normalisées, avec son paramétrage.
  • Les forces représentées en modélisation globale.


En fonction du point d'observation d'un système, les actions mécaniques diffèrent :
Au point \(A\)... Au point \(P\)...
Force : \(\overrightarrow{F_{A}}\)
Moment : \(\overrightarrow{M_{A}(\overrightarrow{F_{A}})}=\overrightarrow{AA} \wedge \overrightarrow{F_{A}}=\overrightarrow{0}\)
Une force ne génère jamais de moment en son propre point d'application !!
Force : \(\overrightarrow{F_{A}}\)
Moment : \(\overrightarrow{M_{P}(\overrightarrow{F_{A}})}=\overrightarrow{PA} \wedge \overrightarrow{F_{A}}\)
Bras de levier
Il est également possible de calculer le moment d'une force grâce au bras de levier :
Le "bras de levier" est la distance la plus courte entre la direction de la force et le point de détermination du moment. $$\|\overrightarrow{M_{P}(\overrightarrow{F_{A}})}\|=\pm b.F_{A}$$ Avec une base directe, + en sens trigonométrique, - en sens horaire.

La rotation se faisant autour de l'axe \(\overrightarrow{z}\), le moment donne : $$\overrightarrow{M_{P}(\overrightarrow{F_{A}})}=\pm b.F_{A}.\overrightarrow{z}$$
3. Torseur des Actions Mécaniques
4. Actions mécaniques avec frottement
Le FROTTEMENT est issu de deux corps en contact lorsque ceux-ci sont en mouvement l'un par rapport à l'autre ; ou tout au moins avec une tendance au mouvement.
ATTENTION !! Le frottement n'est pas une force ! Sa présence tend à modifier la force considérée.
4.1. Différence des actions de contact sans et avec frottement
Sans frottement Avec frottement
Si on assimile la liaison du solide sur le sol à une liaison appui plan, dans le plan \((\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\), cette liaison a le torseur au point de contact \(A\) : $$\{\mathbb{F}_{sol \rightarrow solide}\}=\left\{\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ R & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right\}_{(A, b)}$$ Le frottement (effort résistif) tend alors à s'opposer à la tendance au mouvement ou au mouvement.
On voit que l'action mécanique \(\overrightarrow{R}\) se décompose en \(\overrightarrow{R}=\overrightarrow{T}+\overrightarrow{N}\):
  • Avec \(\overrightarrow{T}\) une partie tangentielle qui s'oppose au mouvement ;
  • Avec \(\overrightarrow{N}\) une partie normale.
$$\{\mathbb{F}_{sol \rightarrow solide}\}=\left\{\begin{array}{cc} T & 0 \\ N & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right\}_{(A, b1)}$$
4.2. Lois de Coulomb
Première loi de Coulomb
Soit deux solides \(S_1\) et \(S_2\) en glissement au point de contact \(I\) l'un par rapport à l'autre : \(\overrightarrow{V_{I,2/1}} \neq \overrightarrow{0}\).

On définit un coefficient de frottement \(f\) tel que \(f=\tan \varphi\) où \(\varphi\) est le demi angle au sommet du cône de frottement.
  • La composante tangentielle \(\overrightarrow{T_{12}}\) est opposée à la vitesse de glissement \(\overrightarrow{V_{I, 2/1}}\) ;
  • \(\overrightarrow{F_{12}}\) est toujours sur le cône de frottement, c'est-à-dire \(T_{12}=f.N_{12}\).
Seconde loi de Coulomb
Soit deux solides \(S_1\) et \(S_2\) en non glissement au point de contact \(I\) l'un par rapport à l'autre : \(\overrightarrow{V_{I,2/1}}=\overrightarrow{0}\).
On définit un coefficient d'adhérence \(f_0\) tel que \(f_0=\tan \varphi_0\) où \(\varphi_0\) est le demi angle au somment du cône d'adhérence.
  • \(\overrightarrow{F_{12}}\) est toujours situé sur le cône d'adhérence ;
  • \(T_{12} \leq f_0.N_{12}\), il n'est donc pas possible d'utiliser cette relation pour trouver une projection de la force.
Remarque :
  • A la limite entre l'adhérence et le frottement, on parle d'EQUILIBRE STRICT, et on retient alors le modèle de la première loi de Coulomb : $$T_{12}=f.N_{12}$$
  • Par usage, bien que les coefficients de frottement et d'adhérence soient légèrement différents, on considère que \(f=f_0\), et on parle généralement de coefficient de frottement.