CINEMATIQUE 5 : LOI ENTREE SORTIE CINEMATIQUE

Si la loi entrée-sortie géométrique permet de déterminer la position d'un point en fonction de l'évolution d'un paramètre contrôlé, la loi entrée-sortie cinématique permet de faire un lien entre deux vitesses.
1. Etude des mécanismes quelconques
1.1. Méthode 1 : dérivation de la loi entrée-sortie géométrique
Une première solution pour déterminer la loi entrée-sortie cinématique consiste à dériver dans le temps la loi entrée-sortie géométrique, puisque la vitesse est la dérivée de la position.

Dans le cas d'une chaîne cinématique ouverte, c'est la seule solution pour générer une loi entrée-sortie cinématique.
1.2. Méthode 2 : composition des torseurs cinématiques
Démarche de résolution d'une loi entrée-sortie cinématique :

On souhaite déterminer la loi entrée-sortie d'un mécanisme cinématique, qui se traduit par la génération d'une équation différentielle liant une vitesse d'entrée (variable angulaire ou linéaire) et vitesse de sortie (variable angulaire ou linéaire), indépendamment de tout autre vitesse.
  • Etape 1 : on détermine le nombre cyclomatique du mécanisme (complexité).
  • Etape 2 : on détermine autant de FERMETURE CINEMATIQUE que la valeur du nombre cyclomatique précédent. $$\{\mathbb{V}_{i/j}\}+\{\mathbb{V}_{j/k}\}+\{\mathbb{V}_{k/i}\}=\{0\}$$ ATTENTION : il n'est possible d'additionner des torseurs que s'ils sont au même point, c'est-à-dire que les vitesses sont exprimées au même point.
  • Etape 3 : on projette chacune des relations vectorielles dans un même repère (choisi ou imposé).
  • Etape 4 : on en déduit les équations scalaires en projection suivant les axes du repère considéré à l'étape 3.
2. Etude des réducteurs
Les réducteurs (et multiplicateurs) sont des transmetteurs de puissance. Leur place dans la chaîne d'énergie est la suivante :
L'actionneur associé aux réducteurs et multiplicateurs, est principalement un moteur électrique, thermique, hydraulique ou pneumatique.
2.1. Définition
Le RAPPORT DE TRANSMISSION est défini comme étant le quotient de la vitesse angulaire de l'arbre de sortie \(\omega_{2}\) par celle de l'arbre d'entrée \(\omega_{1}\) du système transmetteur de puissance. $$r=\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}$$ Le rapport de transmission est positif lorsque les vitesses angulaires sont de même sens, et négatif lorsqu'elles sont de sens inverse.

Lorsque \(|r| < 1\), on parle de système réducteur et de rapport de réduction.
Lorsque \(|r| > 1\), on parle de système multiplicateur et de rapport de multiplication.
Le RENDEMENT \(\eta\) d'un système est le rapport : $$\eta=\frac{P_{sortie}}{P_{entree}}=\frac{P_{entree}-P_{pertes}}{P_{entree}}=1-\frac{P_{pertes}}{P_{entree}}$$ Si le rendement du réducteur ou du multiplicateur est idéal, on a la relation de conservation de la puissance mécanique entre l'entrée et la sortie du système de transmission de puissance :
$$P=C_{1}.\omega_{1}=C_{2}.\omega_{2}$$ On en déduit alors : $$\frac{C_{2}}{C_{1}}=\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}$$ Si l'on prend en compte le rendement \(\eta\) de la transmission, on a : $$\eta=\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{C_{2}.\omega_{2}}{C_{1}.\omega_{1}}=\frac{C_{2}}{C_{1}}.r$$
2.2. Les principales solutions constructives
Transmission de puissance par poulie-courroie
Utilisée depuis le début de l'époque industrielle, elle permet de véhiculer l'énergie mécanique entre deux arbres parallèles et relativement éloignés.
Ce type de transmission est constitué :
  • D'une poulie motrice (1), assemblée à l'arbre moteur ;
  • D'une poulie réceptrice (2), liée à l'organe à entraîner ;
  • D'une courroie (3) qui s'enroule sur chacune des poulies.
Le mouvement est transmis de l'arbre moteur à l'arbre récepteur par l'adhérence de la courroie sur les deux poulies. Les poulies peuvent être plates, trapézoïdales ou striées.
Au passage sur les poulies, la courroie se déforme et provoque un glissement dit "fonctionnel" (différent du patinage). Ce glissement introduit une variation, et donc une imprécision, du rapport de transmission. Si on admet que la transmission s'effectue sans glissement et que la courroie est inextensible, alors on peut définir le rapport de transmission : $$r=\frac{\omega_{recepteur}}{\omega_{moteur}}=\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}}=\frac{R_{1}}{R_{2}}$$
Transmission de puissance par chaîne et pignons
Seule l'architecture ressemble à celle de la transmission par poulies-courroie, car la transmission de puissance par pignons et chaîne s'effectue par obstacle.
L'arbre moteur et l'arbre récepteur sont aussi relativement éloignés. La première figure représente l'engrènement de la chaîne sur une roue dentée. La deuxième figure montre la constitution d'une chaîne à rouleaux qui sont les chaînes les plus couramment utilisées.

Les systèmes de chaîne-pignon sont utilisés en automobile pour la distribution, pour la transmission de puissance des cycles (moto, vélo), pour les systèmes de convoyage dans l'industrie.

Il n'y a pas de glissement entre la chaîne et les roues dentées, ce qui garantit un rapport de transmission constant. Il s'exprime par : $$r=\frac{\omega_{recepteur}}{\omega_{moteur}}=\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}}=\frac{d_{p1}}{d_{p2}}$$
Transmission de puissance par pignon et crémaillère
Le système pignon-crémaillère permet de transformer un mouvement de rotation en mouvement de translation.

La loi entrée-sortie cinématique d'un système pignon-crémaillère est : $$V=R.\omega$$ Avec \(V\) la vitesse de la crémaillère en \(m/s\), et \(\omega\) la vitesse de rotation du pignon en \(rad/s\). En intégrant, on obtient la loi entrée-sortie géométrique : $$\Delta x=R.\Delta \theta $$ Avec \(\Delta x\) l'avance de la crémaillère en \(m\), et \(\Delta \theta\) la rotation du pignon en \(rad\).
Transmission de puissance par engrenage
La transmission de puissance par engrenage véhicule l'énergie mécanique entre deux arbres sans éléments supplémentaires et par obstacles (contact direct). L'arbre moteur et l'arbre récepteur peuvent être parallèles, sécants ou orthogonaux.

Un engrenage est la constitution d'un pignon et d'une roue dentée.
Le terme pignon est réservé pour la roue munie du plus petit nombre de dents.
La transmission par obstacle assure un roulement sans glissement au point \(I\), ce qui donne un rapport de transmission constant défini par : $$r=\frac{\omega_{recepteur}}{\omega_{moteur}}=\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}}=-\frac{r_{1}}{r_{2}}=-\frac{Z_{1}}{Z_{2}}$$ Avec \(Z_{1}\) le nombre de dents du pignon, et \(Z_{2}\) le nombre de dents de la roue. Le signe moins indique un sens de rotation différent pour la roue et le pignon (significatif pour un engrenage à contact extérieur.
3. Réducteurs de vitesse à engrenages
3.1. Réducteurs à engrenages élémentaires
Un REDUCTEUR ELEMENTAIRE ou TRAIN SIMPLE assure directement la transmission de puissance entre l'arbre d'entrée (moteur) et l'arbre de sortie (lié au récepteur) par l'intermédiaire d'un seul engrenage. Le tableau ci-dessous propose une classification des réducteurs élémentaires en fonction de la position relative de l'arbre moteur et de l'arbre récepteur.

On appelle TRAIN SIMPLE un couple de roues dentées en liaison pivot avec la même classe d'équivalence. Cette classe d'équivalence cinématique n'est pas nécessairement le bâti.
Position relative des axes des arbres moteur et récepteur Type d'engrenage assurant la transmission Schéma de principe Rapport de transmission
Axes parallèles (\(d_{1}//d_{2}\)) Cylindrique à denture droite ou hélicoïdale à contact extérieur $$r=\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}}=-\frac{D_{1}}{D_{2}}=-\frac{Z_{1}}{Z_{2}}$$
Cylindrique à denture droite ou hélicoïdale à contact intérieur $$r=\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}}=+\frac{D_{1}}{D_{2}}=+\frac{Z_{1}}{Z_{2}}$$
Axes concourants (\(d_{1}\bot d_{2}\) par exemple) Conique à contact extérieur $$r=|\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}}|=\frac{D_{1}}{D_{2}}=\frac{Z_{1}}{Z_{2}}$$
Axes orthogonaux Roue et vis sans fin $$r=|\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}}|=\frac{D_{1}}{D_{2}}=\frac{Z_{1}}{Z_{2}}$$
\(Z_1\) : nombre de filets de la vis
Cas d'un train d'engrenage
Les trains simples sont très rapidement limités au niveau du rapport de transmission possible (encombrement), il est alors nécessaire de monter des trains simples en série, on parlera alors de TRAINS D'ENGRENAGES. La connaissance des trains simples permet alors de déterminer le rapport de transmission des trains d'engrenages.
Le rapport de réduction global s'exprime par la relation suivante : $$r=\frac{\omega_{recepteur}}{\omega_{moteur}}=(-1)^{n}.\frac{\Pi Z_{roues~menantes}}{\Pi Z_{roues~menees}}$$ Où \(n\) est le nombre de contact extérieur entre roues dentées. Ici, dans l'exemple : \(r=(-1)^{2}.\frac{Z_{1}.Z_{3}}{Z_{2}.Z_{4}}\).
3.2. Réducteurs épicycloïdaux
Avec un seul train d’engrenage simple, la réduction de vitesse n’est généralement pas suffisante. De plus, les arbres de sortie et d’entrée ne sont pas coaxiaux. L’utilisation de trains simples à plusieurs étages permet de combler ces problèmes, mais cette solution devient rapidement encombrante et lourde.
Par conséquent, on utilise des trains épicycloïdaux qui permettent d’obtenir de grands rapports de réduction dans un encombrement faible.

Un TRAIN EPICYCLOIDAL est composé d'organes rotatifs dont au moins un élément, appelé SATELLITE, est susceptible de prendre deux mouvements de rotation indépendants : une rotation autour de son axe propre et une rotation par rapport à l'axe général du système.

Les SATELLITES possèdent deux liaisons engrenages et une liaison pivot.
Le PORTE-SATELLITE est l'élément avec lequel les satellites sont en liaison pivot.
Les PLANETAIRES sont deux éléments dentés en contact avec les dents des satellites.

L’utilisation de plusieurs satellites ne change rien à la cinématique du train épicycloïdal.

Pour trouver la loi entrée-sortie de cet engrenage, on applique la relation de Willis : $$\omega_{PlaA/0}-\lambda.\omega_{PlaB/0}+(\lambda-1).\omega_{PoSa/0}=0$$ Avec : $$\lambda=\frac{\omega_{PlaA/0}}{\omega_{PlaB/0}}|_{\omega_{PoSa/0}=0}$$

Démarche de détermination de la loi entrée-sortie d'un train épicycloïdal :

  • Etape 1 :on détermine le rôle de chaque pièce : satellite, porte-satellite, planétaires A et B.
  • Etape 2 :on détermine l'expression de \(\lambda\) quand le porte-satellite est bloqué, on constate que l'on se retrouve alors avec un train d'engrenages simple.
  • Etape 3 :on applique la relation de Willis, en remplaçant également les vitesses nulles pour les pièces bloquées.
  • Etape 4 :on met sous la forme \(r=\frac{\omega_{recepteur}}{\omega_{moteur}}\).