CINEMATIQUE 4 : ANALYSE DES MOUVEMENTS

1. Composition des mouvements
Pour aborder une étude cinématique, on s’intéresse systématiquement à la nature du mouvement des solides et on constate souvent que ce mouvement peut être complexe. Pour calculer un vecteur vitesse, il peut donc être judicieux de décomposer ce mouvement complexe en plusieurs mouvement simples : c’est la composition de mouvement.
1.1. Composition des Vecteurs vitesses
Soit \(M\) un point d'un solide \(S_{1}\) en mouvement par rapport à deux référentiels \(R_{0}\) et \(R\). On a : $$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OO_{1}}+\overrightarrow{O_{1}M}=\overrightarrow{OO_{1}}+x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$$ En dérivant cette relation par rapport au temps dans le référentiel $R_{0}$, on obtient : $$\underbrace{\left[\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}\right]_{R_{0}}}_{VITESSE~ ABSOLUE}=\underbrace{\left[\frac{d\overrightarrow{OO_{1}}}{dt}\right]_{R_{0}}+x.\left[\frac{d\overrightarrow{i}}{dt}\right]_{R_{0}}+y.\left[\frac{d\overrightarrow{j}}{dt}\right]_{R_{0}}+z.\left[\frac{d\overrightarrow{k}}{dt}\right]_{R_{0}}}_{VITESSE~ D'ENTRAINEMENT}+\underbrace{\dot{x}.\overrightarrow{i}+\dot{y}.\overrightarrow{j}+\dot{z}.\overrightarrow{k}}_{VITESSE~RELATIVE}$$ Dans l'exemple ci-dessus, cela se traduit par : $$\underbrace{\overrightarrow{V_{balle/sol}}}_{VITESSE~ ABSOLUE}=\underbrace{\overrightarrow{V_{balle/chariot}}}_{VITESSE~ D'ENTRAINEMENT}+\underbrace{\overrightarrow{V_{chariot/sol}}}_{VITESSE~RELATIVE}$$
Généralisation
Si un solide \(S\) est en mouvement par rapport au repère \(R_n\), lui-même en mouvement par rapport au repère \(R_{n-1}\),..., lui-même en mouvement par rapport au repère \(R_i\),..., lui-même au mouvement par rapport au repère \(R_{i-1}\),..., lui-même en mouvement par rapport au repère \(R\), alors, pour tout point appartenant à \(S\) : $$\overrightarrow{V_{M, S/R}} = \overrightarrow{V_{M, S/R_n}} + ... + \overrightarrow{V_{M, R_i/R_{i-1}}} + ... + \overrightarrow{V_{M, 1/0}}$$ La composition des vecteurs vitesse reprend, au niveau des repères, le principe de la relation de Chasles des vecteurs.
1.2. Composition des Vecteurs rotation
Si on considère le solide 2 auquel est associé le repère \(R_2\), en mouvement par rapport au repère \(R_1\) lui-même en mouvement par rapport au repère \(R_0\), les mouvements relatifs des 3 repères \(R_0\), \(R_1\), \(R_2\) induisent l'existence des 3 vecteurs vitesse instantanée de rotation \(\overrightarrow{\Omega_{2/0}}\), \(\overrightarrow{\Omega_{2/1}}\) et \(\overrightarrow{\Omega_{1/0}}\). On montre que : $$\overrightarrow{\Omega_{2/0}} = \overrightarrow{\Omega_{2/1}}+\overrightarrow{\Omega_{1/0}}$$
Généralisation
Si un solide \(S\) est en mouvement par rapport au repère \(R_n\), lui-même en mouvement par rapport au repère \(R_{n-1}\),..., lui-même en mouvement par rapport au repère \(R_i\),..., lui-même au mouvement par rapport au repère \(R_{i-1}\),..., lui-même en mouvement par rapport au repère \(R\), alors, pour tout point appartenant à \(S\) : $$\overrightarrow{\Omega_{S/R}} = \overrightarrow{\Omega_{S/R_n}} + ... + \overrightarrow{\Omega_{R_i/R_{i-1}}} + ... + \overrightarrow{\Omega_{1/0}}$$ La composition des vecteurs rotation reprend, au niveau des repères, le principe de la relation de Chasles des vecteurs.
1.3. Composition des Torseurs cinématiques
La composition des torseurs cinématiques n'est qu'une forme condensée des compositions des vecteurs vitesse et des vecteurs vitesse instantanée de rotation. $$\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega_{S/R}} \\ \overrightarrow{V_{M, S/0}} \end{array}\right\}_{M} = \left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega_{S/R_n}} \\ \overrightarrow{V_{M, S/R_n}} \end{array}\right\}_{M} + ... + \left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega_{R_i/R_{i-1}}} \\ \overrightarrow{V_{M, R_i/R_{i-1}}} \end{array}\right\}_{M} + ... + \left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega_{1/0}} \\ \overrightarrow{V_{M, 1/0}} \end{array}\right\}_{M}$$ Soit : $$\{\mathbb{V}_{S/R}\} = \{\mathbb{V}_{S/R_n}\} + ... + \{\mathbb{V}_{R_i/R_{i-1}}\} + ... + \{\mathbb{V}_{1/0}\}$$
1.4. Composition des Vecteurs Accélérations
Soit le solide \(S\) en mouvement par rapport au repère \(R_1\) lui-même en mouvement par rapport au repère \(R\). Pour tout point \(M \in S\) on montre que : $$\overrightarrow{\Gamma_{M, S/R}} = \overrightarrow{\Gamma_{M, S/R_1}} + \overrightarrow{\Gamma_{M, R_1/R}} + \overrightarrow{\Gamma_{Coriolis}}$$ Avec :
  • \(\overrightarrow{\Gamma_{M, S/R}}\), le vecteur accélération absolue ;
  • \(\overrightarrow{\Gamma_{M, S/R_1}}\), le vecteur accélération relative ;
  • \(\overrightarrow{\Gamma_{M, R_1/R}}\), le vecteur accélération d'entraînement ;
  • \(\overrightarrow{\Gamma_{Coriolis}}=2.\overrightarrow{\Omega_{R_1/R}} \wedge \overrightarrow{V_{M, S/R_1}} \), le vecteur accélération de Coriolis.
Dans la pratique, on n'utilise que très rarement (pour ne pas dire jamais) la composition des vecteurs accélérations. On préfèrera dériver le vecteur vitesse.
2. Cinématique du contact ponctuel
2.1. Hypothèses et Modèles
On considère un solide \(S_2\) en mouvement relatif et en contact par rapport à un solide \(S_1\).
Pour construire le modèle, on définit un point de contact \(I\), une normale au contact \(\vect{n_{12}}\) et un plan tangent au contact (\(\pi\)) entre les deux solides (\(S_1\) est en dessous de (\(\pi\)), \(S_2\) est au-dessus de (\(\pi\))).
Le mouvement relatif de \(S_2\) par rapport à \(S_1\) peut être caractérisé cinématiquement par le torseur \(\{\mathbb{V}_{2/1}\}\) exprimé au point \(I\) : $$\{\mathbb{V}_{2/1}\}=\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega_{2/1}} \\ \overrightarrow{V_{I, 2/1}} \end{array}\right\}_{I}$$ Au cours du mouvement relatif de \(S_2\) par rapport à \(S_1\), on suppose qu'il existe toujours un point de contact (non rupture du contact).
2.2. Mise en Evidence du Point Coïncident de Contact
Exemple d'un vélo :
Soit un vélo en mouvement de translation rectiligne uniforme ; le point de contact entre la roue avant et le sol peut être définit :
  • \(I\) appartenant à la roue du vélo.
    Trajectoire : cercle de centre \(A\), de rayon \([AI]\).
  • \(I\) appartenant au sol.
    Trajectoire : segment de droite de direction \(\overrightarrow{{x}_{0}}\).
  • \(I\) point coïncident de contact (n'appartenant ni à la roue, ni au sol).
2.3. Définitions
Vitesse de glissement
On appelle le VECTEUR VITESSE DE GLISSEMENT en \(I\) de \(S_2/S_1\), le vecteur \(\overrightarrow{V_{I, 2/1}}\).

Puisque l'on suppose qu'il n'y a pas de rupture de contact entre les 2 solides, et que ce sont des solide indéformables, le vecteur vitesse \(\overrightarrow{V_{I, 2/1}}\) est nécessairement contenu dans le plan (\(\pi\)). On ne calculera jamais une vitesse de glissement par calcul direct !!
Condition de roulement sans glissement
La condition de roulement sans glissement en \(I\), de \(S_2\) par rapport à \(S_1\) s'écrit : $$\overrightarrow{V_{I, 2/1}}=\overrightarrow{0}$$ Pour le calculer, on utilisera toujours : $$\overrightarrow{V_{I, 2/1}} = \overrightarrow{V_{I, 2/0}} - \overrightarrow{V_{I, 1/0}}$$