CINEMATIQUE 3 : CALCUL DES VECTEURS VITESSES

La CINEMATIQUE permet de décrire et caractériser les mouvements des solides, indépendamment des causes qui les produisent.
1. Vecteurs vitesses
Pour décrire le mouvement d'un solide \(S_{i}\) par rapport à un autre solide \(S_{j}\), il suffit de décrire le mouvement de la base lié \(b_{i}\) par rapport à la seconde \(b_{j}\).

Un solide \(S_{i}\) dans son mouvement par rapport à un solide \(S_{j}\) est caractérisé par deux vitesses différentes :
  • Vitesse de rotation du solide \(S_{i}\) dans son mouvement par rapport à un solide \(S_{j}\).
  • Vitesse linéaire du solide \(S_{i}\) dans son mouvement par rapport à un solide \(S_{j}\).
Ces vitesses sont représentées par des vecteurs.
1.1. Vecteur vitesse de rotation - Résultante cinématique
Le VECTEUR ROTATION d'une base \(b_{i}\) par rapport à une base \(b_{j}\), noté \(\overrightarrow{\Omega_{i/j}}\), est caractérisé par :
  • Sa direction : axe de rotation de \(b_{i}\) par rapport à \(b_{j}\).
  • Sa norme : vitesse angulaire, c'est-à-dire la dérivée de la position angulaire.
  • Son sens : sens de rotation.
Astuce : le meilleur moyen de trouver le vecteur rotation est de s'appuyer sur les figures planes caractéristiques des déplacements angulaires.
Exemple :
On observe sur une figure plane qu'une base (ici \(b_1\) tourne d'un angle \(\theta\) autour de l'axe \(\overrightarrow{z}\) par rapport à une base \(b_0\), considéré fixe). Sachant que la vitesse est la dérivée de la position. $$\overrightarrow{\Omega_{1/0}} = \dot{\theta}.\overrightarrow{z_0}$$
On appelle le vecteur rotation \(\overrightarrow{\Omega_{i/j}}\), la RESULTANTE CINEMATIQUE ; il est indépendant du point choisi pour l'exprimer.
1.2. Vecteur vitesse d'un point - Moment cinématique
Soit un solide \(S_{i}\) lié à un repère \(R_{i}\), en mouvement par rapport à un repère \(R_{j}\).
On note \(\overrightarrow{V_{P\in i/j}}\), la vitesse du point \(P\) appartenant au solide \(S_{i}\) dans son mouvement par rapport au repère \(R_{j}\).
Par commodité, on note souvent \(\overrightarrow{V_{P\in i/j}}=\overrightarrow{V_{P,i/j}}\).

L'ensemble des vecteurs vitesses des points d'un solide \(S_{i}\) est appelé CHAMP DES VECTEURS VITESSES du solide \(S_{i}\).

Méthode 1 : Calcul du vecteur vitesse d'un point par DERIVATION VECTORIELLE

$$\overrightarrow{V_{P,i/j}}=\overrightarrow{V_{P/j}} + "P\in S_{i}"= \left[\frac{d\overrightarrow{O_{j}P}}{dt}\right]_{R_{j}} avec "P\in S_{i}"$$

Méthode 2 : Calcul du vecteur vitesse d'un point par le CHAMP DES VECTEURS VITESSES

On se propose de déterminer une relation entre les vitesses de deux points d'un même solide.
On note \(\overrightarrow{V_{A,1/0}}\) et \(\overrightarrow{V_{B,1/0}}\), la vitesse des points \(A\) et \(B\) du solide \(S_1\) par rapport au repère \(R_0\). $$\begin{eqnarray} [\frac{d}{dt}\overrightarrow{AB}]_{B_0} &=& [\frac{d}{dt}\overrightarrow{OB}]_{B_0} - [\frac{d}{dt}\overrightarrow{OA}]_{B_0} \nonumber \\ &=& \overrightarrow{V_{B,1/0}} - \overrightarrow{V_{A,1/0}} \nonumber \end{eqnarray}$$ Or la dérivée vectorielle d'un vecteur quelconque se détermine par : $$\begin{eqnarray} [\frac{d}{dt}\overrightarrow{AB}]_{B_0} &=& [\frac{d}{dt}\overrightarrow{AB}]_{B_1} + \overrightarrow{\Omega_{1/0}} \wedge \overrightarrow{AB} \nonumber \end{eqnarray} $$ Avec \([\frac{d}{dt}\overrightarrow{AB}]_{B_1}=\overrightarrow{0}\) puisque \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur constant dans \(R_1\). D'où : $$\begin{eqnarray} \overrightarrow{V_{B,1/0}} - \overrightarrow{V_{A,1/0}} &=& \overrightarrow{\Omega_{1/0}} \wedge \overrightarrow{AB} \nonumber \end{eqnarray}$$ La relation entre les vitesses de deux points d'un solide s'écrit finalement : $$\begin{eqnarray} \overrightarrow{V_{B,1/0}} &=& \overrightarrow{V_{A,1/0}} + \overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{\Omega_{1/0}} \nonumber \end{eqnarray}$$ On nomme cette relation : relation de changement de point, relation de transport ou relation de Varignon.
2. Torseurs cinématiques
Définition générique d'un torseur :
Le torseur est une boîte à outils permettant de ranger toutes les informations concernant l'un ou l'autre aspect possible en analyse mécanique. On définira :
  • Torseur cinématique \(\{\mathbb{V}_{i/j}\}\), définissant les vitesses (rotation et linéaire) d'un solide par rapport à un autre ;
  • Torseur des actions mécaniques \(\{\mathbb{F}_{i \rightarrow j}\}\), définissant les forces et moments d'un solide sur un autre ;
  • Torseur cinétique \(\{\mathbb{C}_{i/j}\}\), définissant les quantités de mouvements (rotation et linéaire) d'un solide par rapport à un autre ;
  • Torseur dynamique \(\{\mathbb{D}_{i/j}\}\), définissant les quantités d'accélérations (rotation et linéaire) d'un solide par rapport à un autre.
Un TORSEUR rassemble un couple de vecteurs :
  • Un vecteur appelé RESULTANTE, noté \(\overrightarrow{R}\), constante en tout point.
  • Un vecteur appelé MOMENT, noté \(\overrightarrow{M_{B}}\) variable en fonction du point, vérifiant la relation de Varignon : $$\overrightarrow{M_{B}}=\overrightarrow{M_{A}}+\overrightarrow{BA}\wedge \overrightarrow{R}$$
Notation des torseurs :
$$\{\mathbb{T}_{i/j}\}=\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{R} \\ \overrightarrow{M_{B}} \end{array}\right\}_{(B,R)}=\left\{\begin{array}{cc} R_{x}.\overrightarrow{x}+R_{y}.\overrightarrow{y}+R_{z}.\overrightarrow{z} \\ M_{Bx}.\overrightarrow{x}+M_{By}.\overrightarrow{y}+M_{Bz}.\overrightarrow{z} \end{array}\right\}_{(B)}=\left\{\begin{array}{cc} R_{x} & M_{Ax} \\ R_{y} & M_{Ay} \\ R_{z} & M_{Az} \end{array}\right\}_{(B, R)}$$ \(\overrightarrow{R}\) et \(\overrightarrow{M_{B}}\) sont les ELEMENTS DE REDUCTION du torseur au point \(B\) (point où est exprimé le moment). On indique toujours ce point d'expression, nommé POINT DE REDUCTION, en bas à droite du torseur.

On remarque que si les axes d'expression des torseurs ne sont pas indiqués à l'intérieur de celui-ci (notation horizontale), alors on indique le repère d'expression en bas à gauche (notation verticale), dans ce cas les composantes doivent bien toutes être dans le même repère.

Dans la notation horizontale, il n'est pas dérangeant de faire apparaître plusieurs repères différents.
Le TORSEUR CINEMATIQUE du solide \(S_{i}\) dans son mouvement par rapport au solide \(S_{j}\) est le couple formé par :
  • Comme résultante : le VECTEUR ROTATION en \(rad/s\) \(\overrightarrow{\Omega_{i/j}}=\omega_{x}.\overrightarrow{x}+\omega_{y}.\overrightarrow{y}+\omega_{z}.\overrightarrow{z}\).
  • Comme moment : le VECTEUR VITESSE en \(m/s\) \(\overrightarrow{V_{P, i/j}}=v_{Px}.\overrightarrow{x}+v_{Py}.\overrightarrow{y}+v_{Pz}.\overrightarrow{z}\).
Chaque liaison possède son propre torseur cinématique.
Liaison normalisé Symbole 3D Symbole 2D Degré de Liberté
Liaison sphère/plan ou ponctuelle en \(O\) de normale \((O, \overrightarrow{z})\) $$\left\{\begin{array}{cc} \omega_x & v_x \\ \omega_y & v_y \\ \omega_z & 0 \end{array}\right\}_{(O, b)}$$
Liaison linéaire rectiligne d'axe \((O, \overrightarrow{x})\) et de normale \((O, \overrightarrow{z})\) $$\left\{\begin{array}{cc} \omega_x & v_x \\ 0 & v_y \\ \omega_z & 0 \end{array}\right\}_{(O, b)}$$
Liaison sphère/cylindre ou linéaire annulaire d'axe \((O, \overrightarrow{x})\) $$\left\{\begin{array}{cc} \omega_x & v_x \\ \omega_y & 0 \\ \omega_z & 0 \end{array}\right\}_{(O, b)}$$
Liaison appui plan de normale \((O, \overrightarrow{z})\) $$\left\{\begin{array}{cc} 0 & v_x \\ 0 & v_y \\ \omega_z & 0 \end{array}\right\}_{(O, b)}$$
Liaison rotule au point \(O\) $$\left\{\begin{array}{cc} \omega_x & 0 \\ \omega_y & 0 \\ \omega_z & 0 \end{array}\right\}_{(O, b)}$$
Liaison pivot glissant d'axe \((O, \overrightarrow{x})\) $$\left\{\begin{array}{cc} \omega_x & v_x \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right\}_{(O, b)}$$
Liaison pivot d'axe \((O, \overrightarrow{x})\) $$\left\{\begin{array}{cc} \omega_x & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right\}_{(O, b)}$$
Liaison glissière d'axe \((O, \overrightarrow{x})\) $$\left\{\begin{array}{cc} 0 & v_x \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right\}_{(O, b)}$$
Liaison hélicoïdale d'axe \((O, \overrightarrow{x})\) $$\left\{\begin{array}{cc} \omega_x & v_x \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right\}_{(O, b)}$$
Liaison encastrement $$\left\{\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right\}_{(O, b)}$$
Pré-requis mathématique
A. Différence entre SCALAIRES et VECTEURS
Les SCALAIRES sont des nombres positifs, négatifs ou nuls, utilisés pour représenter des quantités diverses : temps, température, masse, énergie, etc.
Exemples : une hauteur de \(20m\), un volume de \(18m^{2}\), une puissance de \(200MW\)...

Un VECTEUR \(\overrightarrow{V}\) est une grandeur définie par :
  • Une direction : droite qui porte le vecteur.
  • Un sens : orientation origine-extrémité du vecteur, symbolisé par une flèche, d'où \(\overrightarrow{V}=x.\overrightarrow{x}+y.\overrightarrow{y}+z.\overrightarrow{z}\), avec \(x\), \(y\) et \(z\) les composantes du vecteur.
  • Une norme ou intensité ou module : valeur de la grandeur mesurée par le vecteur, notée \(||\overrightarrow{V}||=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\).
B. Dérivation de VECTEURS
Calcul de la dérivée d'un vecteur \(\overrightarrow{V}=x.\overrightarrow{x}+y.\overrightarrow{y}+z.\overrightarrow{z}\) par rapport à un repère \(R_{0}\) : $$\left[\frac{d\overrightarrow{V}}{dt}\right]_{R_{0}}=\dot{x}.\overrightarrow{x}+x.\left[\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}\right]_{R_{0}}+\dot{y}.\overrightarrow{y}+y.\left[\frac{d\overrightarrow{y}}{dt}\right]_{R_{0}}+\dot{z}.\overrightarrow{z}+z.\left[\frac{d\overrightarrow{z}}{dt}\right]_{R_{0}}$$ Calcul de la dérivée d'un vecteur unitaire \(\overrightarrow{x_{i}}\) mobile par rapport à un repère \(R_{j}\) : $$\left[\frac{d\overrightarrow{x_{i}}}{dt}\right]_{R_{j}}=\overrightarrow{\Omega_{i/j}}\wedge \overrightarrow{x_{i}}$$ Calcul vectoriel de deux vecteurs \(\overrightarrow{V}=x.\overrightarrow{x}+y.\overrightarrow{y}+z.\overrightarrow{z}\) et \(\overrightarrow{A}=\alpha.\overrightarrow{x}+\beta.\overrightarrow{y}+\gamma.\overrightarrow{z}\) : $$\overrightarrow{V}\wedge \overrightarrow{A}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y.\gamma-z.\beta \\ -(x.\gamma-z.\alpha) \\ x.\beta-y.\alpha \end{pmatrix}$$ Remarque :
  • Pour réaliser un calcul vectoriel, les deux vecteurs doivent être dans le même repère.
  • Le produit vectoriel de 2 vecteurs est un vecteur, noté \(\overrightarrow{V}\wedge \overrightarrow{A}\), de direction perpendiculaire au plan \((\overrightarrow{V},\overrightarrow{A})\), de sens tel que le trièdre \((\overrightarrow{V},\overrightarrow{A}, \overrightarrow{V}\wedge \overrightarrow{A})\) soit direct, et de norme \(||\overrightarrow{V}\wedge \overrightarrow{A}||=||\overrightarrow{V}||.||\overrightarrow{A}||.|\sin(\overrightarrow{V},\overrightarrow{A})|\).
  • \(\overrightarrow{V}\wedge \overrightarrow{A}=\overrightarrow{0}\) si \(\overrightarrow{V}=\overrightarrow{0}\) ou si \(\overrightarrow{A}=\overrightarrow{0}\) ou si \(\sin(\overrightarrow{V},\overrightarrow{A}) \Rightarrow \overrightarrow{V} \parallel \overrightarrow{A}\).