ASSERVISSEMENT 6 : CORRECTION DES SLCI

Un système asservi doit satisfaire à différentes exigences que l'on peut classer en 2 catégories :
Stabilité et amortissement
  • Obtention et maintien de la stabilité.
  • Obtention d'un transitoire bien amorti.
Performances en rapidité et précision
  • Précision statique (et dynamique).
  • Rapidité de la réponse dans les transitoires.
  • Effacement des effets des perturbations.
Ces exigences doivent être remplies pour respecter le cahier des charges, mais elles ne sont pas compatibles. C'est le dilemme stabilité/rapidité/précision/amortissement.
1. Principe de la Correction
La correction est réalisée par un correcteur qui élabore le signal en entrée de la chaîne d'action en fonction de l'écart, i.e. de la différence entre l'image de la consigne et l'image de la sortie.

Cette position permet :
  • D'assurer une correction efficace des perturbations puisqu'il est placé avant les perturbations.
  • De réaliser une correction avec les informations les plus "fraîches" puisqu'en sortie de comparateur le signal n'a pas été modifié par les différents constituants du système.
Les caractéristiques du correcteur sont entièrement contrôlées et réglables soit par une technologie électronique (correcteur analogique) ou informatique (correcteur numérique).
2. Correction Proportionnelle \(C(p)=K_{P}\)
2.1. Principe
Ce correcteur élémentaire est le correcteur de base. Il permet de régler le gain de la fonction de transfert en boucle ouverte.
La fonction de transfert du correcteur est : $$C(p)=K_{P}$$
2.2. Effets
Nous avons vu lors de l'étude de la précision que l'erreur indicielle \(\varepsilon_{i}\) d'un système ne possédant pas d'intégration \(T(p)=\frac{K_{s}.N(p)}{p^{\alpha}.D(p)}\) (avec \(\alpha=0\)) est de la forme : $$\varepsilon_{i}=\frac{E_{0}}{1+K}$$ Avec \(K=K_{P}.K_{s}\) le gain de la FTBO.

Le correcteur proportionnel permet donc, en augmentant le gain de la FTBO, d'améliorer la précision du système à condition de rester dans la limite de la stabilité du système. Lorsque le gain augmente :
  • L'erreur indicielle \(\varepsilon_{i}\) diminue ;
  • La sortie est de plus en plus oscillante ;
  • Le dépassement augmente ;
  • Le temps de montée diminue ;
  • Le diagramme de Bode en gain est décalé vers la gauche (la phase reste inchangée) ;
  • La bande passante de la FTBO augmente.
3. Correction Intégrale \(C(p)=\frac{1}{T_{i}.p}\)
Ce correcteur apporte une intégration dans la chaîne de commande. Cette intégration dans la FTBO permet d'annuler l'erreur statique pour une entrée en échelon, l'intérêt principal de ce type de correcteur est donc d'améliorer la précision.
Il introduit malheureusement un déphasage de \(-90^{\circ}\) et risque donc de rendre le système instable par diminution de la marge de phase.
Dans l'exemple ci-dessus, on constate sur la réponse temporelle que l'intégrateur diminue le temps de réponse du système.
Ce correcteur est rarement utilisé seul.
4. Correction Proportionnelle - Intégrale \(C(p)=K_{P}.(1+\frac{1}{T_{i}.p})=K_{P}.\frac{1+T_{i}.p}{T_{i}.p}\)
4.1. Diagrammes de Bode - Influence de \(K_{P}\) et \(T_{i}\)
Ce correcteur possède deux paramètres réglables :
  • \(K_{P}\) n'agit que sur le gain, la courbe de gain est translatée en fonction de sa valeur ;
  • \(T_{i}\), la constante d'intégration agit principalement sur la phase pour les pulsations inférieures à \(\frac{1}{T_{i}}\), les courbes sont translatées le long de l'axe des pulsations.
4.2. Effets
Le correcteur PI permet d'améliorer :
  • Le comportement statique : par la présence de l'intégration dans la FTBO, l'erreur indicielle est nulle ;
  • Le comportement dynamique : le numérateur \((1+T_{i}.p)\) apporte une phase positive dans la zone critique, celle-ci permet d'améliorer la marge de phase en pondérant l'effet négatif de l'intégration ;
  • Un choix judicieux du gain \(K_{P}\) et de la constante d'intégration \(T_{i}\) permet ainsi d'améliorer le comportement du système sans trop dégrader la stabilité et la rapidité.
4.3. Détermination du correcteur
Détermination du correcteur PI par la méthode expérimentale :

La fonction de transfert du système n'est pas connue algébriquement, mais uniquement par sa réponse fréquentielle déterminée expérimentalement et sa réponse temporelle. On constate que le système est fortement oscillant et qu'il n'est pas précis. On se propose d'installer un correcteur PI pour améliorer la précision.

La procédure est la suivante :
  1. Déterminer la pulsation \(\omega_{0dB}\) pour laquelle le module en dB est nul ;
  2. Régler \(T_{i}=\frac{10}{\omega_{0dB}}\), puis tracer le correcteur pour \(K_{P}=1\) ;
  3. Tracer le diagramme de Bode de la fonction corrigée en sommant le graphe expérimental du système et celui du correcteur pour \(K_{P}=1\) ;
  4. Déterminer \(K_{P}\) afin d'obtenir les marges de gain et de phase souhaitée.
Détermination du correcteur PI par la méthode du pôle dominant :

Le principe de cette méthode est d'éliminer de la FTBO le pôle dominant, c'est-à-dire le pôle avec la plus grande constante de temps.

La procédure est la suivante :
  1. Identifier la constante de temps la plus grande ;
  2. Choisir \(T_{i}=T_{max}\) ;
  3. Tracer le diagramme de Bode pour \(K_{P}=1\) ;
  4. Déterminer \(K_{P}\) afin d'obtenir les marges de gain et de phase souhaitée.
5. Correction à avance de phase \(C_{ap}=K_{P}.\frac{1+a.T_{a}.p}{1+T_{a}.p}\) avec \(a > 1\)
5.1. Diagrammes de Bode
La principale caractéristique du correcteur à avance de phase est que le correcteur ne modifie la phase que localement, sans influence sur les basses et hautes fréquences.
Le module lui aussi est peu modifié, le gain des hautes fréquences est augmenté de \(20 \log{a}\), les basses fréquences étant inchangées.
Le maximum de l'argument est atteint pour \(\omega_{max}=\frac{1}{\sqrt{a}.T_{a}}\), i.e. la moyenne géométrique des pulsations \(\omega_{Ta}=\frac{1}{T_{a}}\) et \(\omega_{aTa}=\frac{1}{\sqrt{a}.T_{a}}\).
Pour cette pulsation, on a :
  • Argument : $$\varphi(\omega_{max})=\arctan(\frac{a-1}{2\sqrt{a}})=\varphi(\omega_{max})=\arcsin(\frac{a-1}{a+1})$$
  • Module : $$G_{dB}(\omega_{max})=10\log{a}$$
5.2. Effets
Le correcteur à avance de phase permet de modifier localement l'argument en ajoutant une phase positive. Il permet donc :
  • D'améliorer les marges de stabilité (effet stabilisant) ;
  • D'améliorer la bande passante du système et d'augmenter la rapidité.
Il est généralement associé à un correcteur PI qui assure la précision.
5.3. Réglage du correcteur
Réglage du correcteur à avance de phase - Méthode expérimentale itérative :

Si la FTBO n'est connue que par ses diagrammes de Bode.
  1. On cherche la pulsation \(\omega_{0dB}\) pour laquelle le module en $dB$ de la FTBO est nul ;
  2. On mesure la marge de phase \(M_{P1}\) pour cette pulsation ;
  3. On détermine \(a\) pour obtenir la marge de phase désirée : $$M_{P1}+\arctan(\frac{a-1}{2.\sqrt{a}})$$
  4. On centre ensuite sur $\omega_{0dB}$ le correcteur, on a donc : $$\frac{1}{\sqrt{a}.T_{a}}=\omega_{0dB}$$
  5. A partir des valeurs calculées de \(a\) et \(T_{a}\), on trace le diagramme corrigé pour \(K_{P}=1\) ;
  6. On déterminer ensuite \(K_{P}\) de telle sorte que pour la pulsation \(\omega_{0dB}\) le gain de la FTBO corrigée soit nul.
Réglage du correcteur à avance de phase - Pôle dominant :

Si la FTBO est algébriquement connue, on cherche à annuler la constante de temps \(T_{max}\) du pôle dominant avec le numérateur du correcteur, on en déduit la constante de temps du numérateur \(a.T_{a}=T_{max}\).
On détermine ensuite $a$ en fonction de l'avance de phase souhaitée, on terminer par le gain expérimentalement.