ASSERVISSEMENT 5 : PERFORMANCES DES SLCI

1. Stabilité
1.1. Définitions
Définition générale
On dit qu’un système est STABLE si, écarté de sa position par une cause extérieure, il revient vers cette position lorsque la cause disparaît.
Définition adaptée aux SLCI

On dit qu’un système est STABLE si à une entrée bornée, correspond une sortie bornée.
1.2. Condition fondamentale de stabilité d'un SLCI
Soit \(H(p)\) une fonction de transfert d'un SLCI, sous la forme : $$H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{N(p)}{(p-p_1).(p-p_2)...(p-p_n)}$$ On appelle \(p_1\), \(p_2\), \(p_n\) les PÔLES de la fonction de transfert \(H(p)\).

En sollicitant ce SLCI avec une impulsion de Dirac (\(E(p)=1\)), on obtient : $$S(p)=\frac{N(p)}{(p-p_1).(p-p_2)...(p-p_n)}$$ C'est-à-dire, une expression temporelle de la forme : $$s(t)=A_1.e^{p_1.t}+A_2.e^{p_2.t}+...+A_n.e^{p_n.t}$$
Un SLCI est stable si sa fonction de transfert possède :
  • Des pôles réels tous négatifs ;
  • Des pôles complexes ayant leur partie réelle négative.
L'existence d'une boucle de retour impose d'étudier la stabilité des systèmes asservis :
  • Soit à partir de critères analytiques sur le polynôme caractéristique de la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF).
  • Soit à partir de critères graphiques sur les lieux de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO).
1.3. Etude de la stabilité à partir de l'analyse de la FTBF
1.3.1. Etude des pôles de la FTBF
1.3.2. Etude des critères algébriques de la FTBF
Soit \(H(p)\) une fonction de transfert d'un SCLI, sous la forme : $$H(p)=FTBF(p)=\frac{FTCD(p)}{1+FTBO(p)}$$ Lorsque le dénominateur \(D(p)=1+FTBO(p)\) n'est pas sous sa forme factorisée, \(D(p)\) est appelé polynôme caractéristique de la FTBF, et il est de la forme : $$D(p)=a_0+a_1.p+a_2.p^2+a_3.p^3$$
Dans le cas d'un système avec multiples entrées, on remarque que leur dénominateur \(D(p)\) est toujours le même.
La stabilité est indépendante de la présence d'éventuelles perturbations.
1.4. Etude de la stabilité à partir de l'analyse de la FTBO
1.4.1. Equation caractéristique & Point critique
Dans la pratique, l’étude de la stabilité des systèmes bouclés se fait plutôt dans le domaine fréquentiel à partir de la FTBO.

On appelle EQUATION CARACTERISTIQUE d’un système bouclé l’expression : $$1+FTBO(p)=0$$ Le système est en limite de stabilité si \(FTBO(p)=-1\).

On appelle POINT CRITIQUE le point du plan complexe d’affixe \(z=−1\) (module \(1\) et argument \(−180^{\circ}\)), et on constate que l’étude du dénominateur des FTBF revient à analyser la FTBO par rapport à ce point critique.
1.4.2. Critère du Revers dans le plan de Bode
Un système asservi est asymptotiquement stable en boucle fermée si dans le plan de Bode de la FTBO, on a :
  • A la pulsation \(\omega=\omega_{\varphi180}\) pour laquelle \(\arg(FTBO(j.\omega_{\varphi180}))=-180^{\circ}\), on a : $$20.\log(|FTBO(j.\omega_{\varphi180})|) < 0~dB$$
  • A la pulsation \(\omega=\omega_{c0}\) pour laquelle \(20.\log(|FTBO(j.\omega_{c0})|)=0~dB\), on a : $$\arg(FTBO(j.\omega_{c0})) > -180^{\circ}$$
Les deux critères se vérifient simultanément. Il suffit que l'un soit correct pour que le système soit stable.
1.4.3. Marges de stabilité
En pratique, il est nécessaire de faire fonctionner un système suffisamment loin de son point d’instabilité :
  • Imprécisions des modèles de fonction de transfert à la conception ;
  • Vieillissement des composants lors du fonctionnement ;
  • Etc.
Il est donc nécessaire de prévoir des MARGES vis-à-vis du problème d’instabilité qui garantissent que le point critique ne soit jamais atteint.


La MARGE DE GAIN est définie telle que : $$M_G=-20.\log|FTBO(j.\omega_{\varphi180})|$$ Si une FTBO a un diagramme de gain \(< 0~dB~\forall \omega\), la marge de phase est infinie.


La MARGE DE PHASE est définie telle que : $$M_\varphi=180-\arg(FTBO(j.\omega_{c0}))$$ Si une FTBO a un diagramme de gain \(> -180^{\circ}~\forall \omega\), la marge de phase est infinie.
Remarque :
  • Les flèchesreprésentant les marges sont TOUJOURS du bas vers le haut ;
  • Si le système est instable, il n'y a pas de marges.
  • Pensez à renseigner la valeur des marges à côté de leur relevé.
1.5. Causes de l'instabilité
  • Augmentation du gain en boucle ouverte, nommé \(K_{BO}\) ;
  • Présence d'intégrateur(s) dans la FTBO ;
  • Présence d'un retard pur dans le système.
2. Précision
2.1. Précision, Erreur et Ecart
La PRECISION qualifie l'aptitude du système à atteindre la valeur visée. Elle est caractérisée par l'ERREUR \(e_r(t)\) entre la consigne en entrée et la valeur asymptotique effectivement atteinte par la grandeur de sortie. Si l'erreur est nulle, on dit que le système est précis.
Dans un système bouclé, on appelle ECART \(\varepsilon(t)\) en sortie de comparateur, la différence entre l'entrée et la sortie, soit : $$\varepsilon(t)=e(t)-s(t)~ou~\varepsilon(p)=E(p)-S(p)$$
2.2. Différence entre les systèmes
2.2.1. Cas d'un système à retour non unitaire
$$E_{r}(p)\neq\varepsilon(p)$$ $$\varepsilon(p)=E(p)-M(p)$$ Avec \(e(t)\) et \(s(t)\) ne sont pas de même grandeur physique. On va alors faire en sorte que \(\varepsilon(p)\) soit l'image de \(E_{r}(p)\), i.e. que l'on puisse écrire : $$\varepsilon(p)=k.E_{r}(p)$$ Ainsi, si \(\varepsilon(t)\) s'annule, alors \(e_{r}(t)\) également. Pour cela, il faut noter que : \begin{eqnarray} \varepsilon(p)&=&E(p)-M(p) \nonumber \\ &=& K_{c}.cons(p)-K_{c}.S(p) \nonumber \\ &=& K_{c}.(cons(p)-S(p)) \nonumber \end{eqnarray}
2.2.2. Cas d'un système à retour unitaire
$$E_{r}(p)=\varepsilon(p)=E(p)-S(p)$$
2.2.3. Erreur en régime permanent
L'ERREUR EN REGIME PERMANENT est la limite de \(e_r(t)\), ou a fortiori de \(\varepsilon(t)\) lorsque \(t\) tend vers l'infini : $$e_{r}=\lim_{t\rightarrow+\infty}e_{r}(t)$$ Soit en utilisant le théorème de la valeur finale : $$e_{r}=\lim_{t\rightarrow+\infty}e_{r}(t)=\lim_{p\rightarrow0}p.E_{r}(p)$$
2.3. Détermination des erreurs
L'objectif pour obtenir un système précis est d'annuler l'erreur en régime permanent ce qui amène à traiter deux types de problèmes :
  • L'entrée varie au cours du temps (échelon) : minimiser l'erreur \(e_{r}\) lorsque l'entrée du système varie, c'est résoudre un problème de poursuite.
  • Le système subit des perturbations : minimiser l'erreur \(e_{r}\) malgré l'existence de ces perturbations, c'est résoudre un problème de régulation.
2.3.1. Problème de Poursuite
Pour déterminer la précision pour ce type de problème, on se place dans le cas d'un système bouclé avec un retour unitaire.
Pour se placer dans le cas général, on utilise une fonction de transfert \(H(p)\), qui correspond alors à la FTBO du système, du type : $$H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{K\times (1+c_{1}.p+...+c_{m}.p^{m})}{p^{\alpha}\times (1+d_{1}.p+...+d_{q}.p^{q})}=\frac{K}{p^{\alpha}}\times\frac{N(p)}{D(p)}$$ Avec \(\alpha\) la classe du système ; \(n\) l'ordre du système, \(K\) le gain statique, et \(\lim_{p\rightarrow0}\frac{N(p)}{D(p)}=1\).

L'écart \(\varepsilon(p)\) s'exprime : \begin{eqnarray} \varepsilon(p)&=&E(p)-S(p) \nonumber \\ &=& E(p) - H(p).\varepsilon(p) \nonumber \\ \Rightarrow \varepsilon(p)&=&\frac{E(p)}{1+H(p)}=\frac{E(p)}{1+FTBO(p)} \nonumber \end{eqnarray} L'erreur statique se calcule en utilisant le théorème de la valeur finale : \begin{eqnarray} e_{r}&=&\lim_{p\rightarrow0}p.\varepsilon(p)\nonumber \\ &=&\lim_{p\rightarrow0}p.\frac{E(p)}{1+H(p)} \nonumber \\ \Rightarrow e_{r}&=&\lim_{p\rightarrow0}p.\frac{E(p)}{1+\frac{K}{p^{\alpha}}\times\frac{N(p)}{D(p)}} \nonumber \end{eqnarray} Bilan sur l'erreur statique en problème de poursuite :
FTBO de classe 0
(\(\alpha=0\))
FTBO de classe 1
(\(\alpha=1\))
FTBO de classe 2
(\(\alpha=2\))
$$e_{r}=\frac{a}{1+K}$$ $$e_{r}=0$$ $$e_{r}=0$$
Peu précis mais stable Précision acceptable et stabilité moyenne Très précis mais délicat à stabiliser, voire instable
2.3.2. Problème de Régulation
Pour déterminer la précision dans ce type de problème, on se place dans le cas d'un système bouclé avec un retour unitaire avec une perturbation placée après la fonction \(G_{1}(p)\). L'erreur \(e_{r}(t)\) et l'écart \(\varepsilon(t)\) sont donc les mêmes.

La superposition permet d'obtenir la fonction de transfert en boucle fermée du système multivariable : $$S(p)=\frac{G_{1}(p).G_{2}(p)}{1+G_{1}(p).G_{2}(p)}.E_{1}(p)-\frac{G_{2}(p)}{1+G_{1}(p).G_{2}(p)}.E_{2}(p)$$ L'écart \(\varepsilon(p)\) s'exprime : \begin{eqnarray} \varepsilon(p)&=&E_{1}(p)-S(p) \nonumber \\ &=&E_{1}(p)-\frac{G_{1}(p).G_{2}(p)}{1+G_{1}(p).G_{2}(p)}.E_{1}(p)+\frac{G_{2}(p)}{1+G_{1}(p).G_{2}(p)}.E_{2}(p) \nonumber \\ \varepsilon(p)&=&\frac{1}{1+G_{1}(p).G_{2}(p)}.E_{1}(p)+\frac{G_{2}(p)}{1+G_{1}(p).G_{2}(p)}.E_{2}(p) \nonumber \end{eqnarray} Le terme de l'erreur qui dépend de \(E_{1}(p)\) correspond à l'erreur en poursuite et est étudiée paragraphe précédent. Le terme de l'erreur qui dépend de \(E_{2}(p)\) correspond à l'erreur en régulation. On utilise le théorème de superposition qui permet d'étudier les 2 erreurs séparément qui seront ensuite sommées (dans le domaine temporel).
3. Rapidité
3.1. Définition
La RAPIDITE est caractérisée par le temps que met le système à réagir à une variation brusque de la grandeur d'entrée.
Dans la pratique, on utilise le temps de réponse à \(5\%\) (\(tr_{5\%}\)), c'est le temps mis par le système pour atteindre sa valeur de régime permanent à \(\pm5\%\) près et y rester.

Pour les systèmes oscillants, on définit aussi le temps de montée (\(t_{m}\)) qui correspond au temps au bout duquel la réponse passe pour la première fois par sa valeur finale.

Plus les temps de réponse sont faibles, plus le système est rapide.
3.2. Influence de l'ordre
3.2.1. Système du 1er ordre \(\frac{K}{1+\tau.p}\)
Pour une entrée échelon unitaire \(e(t)=u(t)\), la réponse temporelle a pour expression : $$s(t)=K.(1-e^{-\frac{t}{\tau}}).u(t)$$ Le temps de réponse à \(5\%\), \(tr_{5\%}\) correspond à 3 fois la constante de temps \(\tau\) : $$tr_{5\%}=3.\tau$$


Plus la constante de temps est petite, plus le système est rapide.
3.2.2. Système du 2nd ordre \(\frac{K}{1+\frac{2.z}{\omega_{0}}.p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}.p^{2}}\)
Il n'y a pas de calcul simple pour déterminer le temps de réponse à 5\% d'un système du 2nd ordre de la forme \(H(p)=\frac{K}{1+\frac{2.z}{\omega_{0}}.p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}.p^{2}}\).

Deux méthodes sont envisageables :
  • Avec le tracé temporelle de la courbe, on trace le "tube" des 5\%, et on relève la dernière valeur de temps pour laquelle la courbe entre dans le "tube" et n'en ressort jamais.
  • Avec la valeur du facteur d'amortissement et de la pulsation propre, via l'abaque suivant :
    On positionne le facteur d'amortissement sur l'axe des ordonnées, on remonte sur la courbe et on va chercher la correspondance en abscisse. L'axe des abscisses donne le temps de réponse réduit \(tr_{5\%}.\omega_{0}\), il est donc nécessaire de diviser le résultat relevé par \(\omega_{0}\).
    De cet abaque, on retiendra deux valeurs particulières :
    • Pour \(z=0,69\), \(tr_{5\%}.\omega_{0}=3\).
    • Pour \(z=1\), \(tr_{5\%}.\omega_{0}=5\).
Pour une même pulsation propre non amortie \(\omega_{0}\), on remarque que :
  • Pour \(z>1\), la réponse est non oscillatoire.
  • Pour \(z=1\), la réponse est non oscillatoire, et c'est la plus rapide sans dépassement.
  • Pour \(z=0,69\), la réponse est oscillatoire, et c'est la plus rapide, mais elle subit un dépassement d'environ \(5\%\).
  • Pour \(z < 1\), la réponse est oscillatoire.
Pour un même coefficient d'amortissement \(z\), plus \(\omega_{0}\) augmente, plus le temps de réponse à \(5\%\) diminue, donc plus le système est rapide.
3.3. Influence du bouclage
Un système asservi peut toujours être mis sous la forme d'un système à retour unitaire si l'entrée \(E(p)\) et la sortie \(S(p)\) sont comparables (même dimension). L'avantage pratique du bouclage est qu'il permet de modifier facilement les caractéristiques du système.
$$FTBF(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{H(p)}{1+H(p)}=\frac{H(p)}{1+FTBO(p)}$$
3.3.1. Bouclage d'un système du 1er ordre
Dans le cas d'un système du 1er ordre \(H(p)=\frac{K}{1+\tau.p}\). Après bouclage, on obtient : $$FTBF(p)=\frac{\frac{K}{1+\tau.p}}{1+\frac{K}{1+\tau.p}}=\frac{K}{1+\tau.p+K}=\frac{\frac{K}{1+K}}{1+\frac{\tau}{1+K}.p}=\frac{K_{BF}}{1+\tau_{BF}.p}$$ Avec : \(K_{BF}=\frac{K}{1+K}\) et \(\tau_{BF}=\frac{\tau}{1+K}\). Le bouclage d'un système ayant une FTBO du 1er ordre permet :
  • de conserver l'ordre du système en obtenant une FTBF du 1er ordre.
  • de diminuer la valeur de la constante de temps \(\tau_{BF}\) du système, ce qui permet d'obtenir un temps de réponse plus faible lorsque l'on augmente le gain \(K\) de la FTBO.
3.3.2. Bouclage d'un système du 2nd ordre
Dans le cas d'un système du 2nd ordre \(H(p)=\frac{K}{1+\frac{2.z}{\omega_{0}}.p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}.p^{2}}\). Après bouclage, on obtient : $$FTBF(p)=\frac{FTBO(p)}{1+FTBO(p)}=\frac{K}{1+\frac{2.z}{\omega_{0}}.p+\frac{1}{\omega_{0}^{2}}.p^{2}+K}=\frac{\frac{K}{1+K}}{1+\frac{2.z}{(1+K).\omega_{0}}.p+\frac{1}{(1+K).\omega_{0}^{2}}.p^{2}}=\frac{K_{BF}}{1+\frac{2.z_{BF}}{\omega_{BF0}}.p+\frac{1}{\omega_{BF0}^{2}}.p^{2}}$$ Avec : $$K_{BF}=\frac{K}{1+K}$$ $$\frac{1}{\omega_{BF0}^{2}}=\frac{1}{(1+K).\omega_{0}^{2}} \Rightarrow \omega_{BF0}=\sqrt{(1+K)}.\omega_{0}$$ $$\frac{2.z_{BF}}{\omega_{BF0}}=\frac{2.z}{(1+K).\omega_{0}} \Rightarrow z_{BF}=\frac{z.\sqrt{(1+K)}.\omega_{0}}{(1+K).\omega_{0}} \Rightarrow z_{BF}=\frac{z}{\sqrt{(1+K)}}$$ Le bouclage du système ayant une FTBO du 2nd ordre :
  • permet de conserver l'ordre du système en obtenant une FTBF du 2nd ordre.
  • augmente la valeur de la pulsation propre du système lorsque l'on augmente le gain \(K\) de la FTBO.
  • diminue la valeur du coefficient d'amortissement \(z_{BF}\) lorsque l'on augmente le gain \(K\) de la FTBO.
3.4. Influence de la Bande Passante de la FTBF
La bande passante à \(-n~dB\) correspond à la bande de pulsation où le gain est supérieur au gain asymptotique en régime statique moins \(n\) décibels.

Pour le système du 1er ordre défini ci-contre, on a par exemple définit une bande passante à \(-3dB\). En électronique, on appelle ce système un filtre passe-bas car la bande passante à \(-3dB\) se situe dans la zone de basse fréquence.

On montre que plus la bande passante de la FTBF du système est importante, plus le système est rapide.
On montre aussi que la bande passante à \(-3dB\) de la FTBF \(BP_{FTBF(-3dB)}\) est pratiquement égale à la pulsation de coupure de la FTBO \(\omega_{c0(FTBO)}\) : $$BP_{FTBF(-3dB)}=\omega_{c0(FTBO)}$$
3.5. Influence des Pôles Dominants de la FTBF
La réponse \(s(t)\) d'un SLCI dépend des pôles de sa fonction de transfert \(H(p)\). L'écriture en pôle de \(H(p)\) donne : $$H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{N(p)}{(p-p_{1}).(p-p_{2})...(p-p_{n})}$$ Si l'on sollicite ce système avec une impulsion de Dirac en entrée, soit \(E(p)=1\), la sortie \(S(p)\) a pour expression dans le domaine de Laplace : $$S(p)=\frac{N(p)}{(p-p_{1}).(p-p_{2})...(p-p_{n})}$$ Ce qui donne après décomposition en éléments simples : $$S(p)=\frac{A_{1}}{(p-p_{1})}+\frac{A_{2}}{(p-p_{2})}+...+\frac{A_{n}}{(p-p_{n})}$$ La transformation inverse permet ainsi d'obtenir la réponse temporelle qui a donc pour expression : $$s(t)=\underbrace{A_{1}.e^{p_{1}.t}}_{Mode~1}+\underbrace{A_{2}.e^{p_{2}.t}}_{Mode~2}+...+\underbrace{A_{n}.e^{p_{n}.t}}_{Mode~n}$$ On constate ainsi que la réponse \(s(t)\) du système correspond à une superposition de \(n\) modes qui dépendent des pôles de la FTBF.


Plus un pôle aura une partie réelle grande et plus il influencera la réponse globale du système.
Au contraire, plus un pôle aura une partie réelle petite et plus il sera rapidement amorti et influencera peu la réponse globale du système. Par conséquent, lorsque l'on étudie un système, on peut se contenter de ne prendre en compte que les pôles dominants qui permettent d'obtenir un modèle mathématique plus simple à manipuler qui reflète les caractéristiques principales du système.
4. Amortissement
L'AMORTISSEMENT qualifie le fait qu'un système dépasse sa valeur finale lors du régime transitoire. Cela est caractéristique des systèmes du second ordre, ou d'ordre supérieur.

Pour plus de détail, visitez la page suivante : fonction du second ordre avec un coefficient d'amortissement \(z > 1\).