ASSERVISSEMENT 4 : ANALYSE FREQUENTIELLE

1. Origine de l'analyse fréquentielle
1.1. Allures des signaux d'entrée et de sortie
Soit un système de fonction de transfert \(H(p)\), dont la consigne est définit par une entrée de forme sinusoïdale : $$e(t)=E_0.\sin(\omega.t)$$ Avec \(E_0\) l'amplitude d'entrée et \(\omega\) la PULSATION PROPRE en \(rad/s\), on peut montrer que la sortie sera de la forme : $$s(t)=S_0.\sin(\omega.t+\varphi)$$ Avec \(S_0\) l'amplitude de sortie et \(\varphi\) le déphasage entre le signal d'entrée et de sortie.
Signal d'entrée en bleu / Signal de sortie en rouge
1.2. Modélisation fréquentielle par la méthode des complexes
Plutôt que de représenter la réponse temporelle, on va relever en fonction de la valeur de \(\omega\) :
  • Le GAIN qui représente l'amplification du système : \(\frac{S_0}{E_0}\)
  • Le DEPHASAGE \(\varphi\) appelé PHASE qui représente le décalage de \(s(t)\) par rapport à \(e(t)\).
La METHODE DES COMPLEXES exploite la fonction de transfert du système \(H(p)\). En rappelant que \(p \in \mathbb{C}\), il est ainsi possible de définir : $$H(p) \rightarrow H(j.\omega)$$ Avec \(j\) tel que \(j^2=-1\).
La méthode des complexes énonce que :
  • Le GAIN est égal au module du nombre complexe \(H(j.\omega)\) : $$\frac{S_0}{E_0}=|H(j.\omega)|$$
  • La PHASE est égale à l'argument du nombre complexe \(H(j.\omega)\) : $$\varphi(\omega) = \arg(H(j.\omega))$$
2. Diagramme de Bode
L'interprétation des variations de gain et de phase en fonction de la pulsation \(\omega\) est étudiée à l'aide du DIAGRAMME DE BODE.

Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes tracées sur une échelle semi-logarithmique :
  • Courbe de GAIN de \(H(j.\omega)\), exprimée en décibel \(dB\) en fonction de la pulsation \(\omega\) : $$G_{dB}=20.\log(|H(j.\omega)|)$$
  • Courbe de PHASE de \(H(j.\omega)\), exprimée en degrés en fonction de la pulsation \(\omega\) : $$\varphi(\omega) = \arg(H(j.\omega))$$
Remarques :
  • Les deux courbes doivent être tracées sur la même feuille, l'une au dessus de l'autre ;
  • Sur une échelle logarithmique, il n'y a pas d'origine des abscisses (pas de \(0\), mais \(10^0\) !).
3. Réponses fréquentielles des systèmes élémentaires
3.1. Système proportionnel \(H(j.\omega)=K\)
Gain : $$G_{dB}=20.\log K = cste$$ Si \(K > 1\), \(G_{dB} > 0\) ; si \(K < 1\), \(G_{dB} < 0\).

Phase : $$\varphi(\omega)=\arg K=0^{\circ}$$
3.2. Système intégrateur \(H(j.\omega)=\frac{1}{j.\omega}\)
Gain : $$G_{dB}=20.\log \frac{K}{j.\omega} = 20.\log K - 20.\log \sqrt{\omega^2}$$ $$G_{dB}=20.\log K - 20.\log \omega$$ Qui génère une pente de \(20dB/decade\).

Phase : $$\phi(\omega)=\arg K - \arg(j.\omega) = -90^{\circ}$$
3.3. Système du premier ordre \(H(j.\omega)=\frac{K}{1+\tau.j.\omega}\)
Gain :
Quand \(\omega \rightarrow 0\) : $$\lim_{\omega \rightarrow 0} H(j.\omega) = \lim_{\omega \rightarrow 0} \frac{K}{1+\tau.j.\omega}=K$$ $$\Rightarrow G_{dB}(\omega \rightarrow 0) = K$$ Quand \(\omega \rightarrow +\infty\) : $$\lim_{\omega \rightarrow +\infty} H(j.\omega) = \lim_{\omega \rightarrow +\infty} \frac{K}{1+\tau.j.\omega}=\frac{K}{\tau.j.\omega}$$ $$\Rightarrow G_{dB}(\omega \rightarrow +\infty) = \frac{K}{\tau.j.\omega}$$ Quand \(\omega = \omega_c=\frac{1}{\tau}\) : $$H(j.\omega) = \frac{K}{1+j}$$ $$\Rightarrow G_{dB}=20.\log K - 20.\log{\sqrt{2}}=20.\log K - 3$$ On appelle \(\omega_c\), la PULSATION DE CASSURE.
Phase :
Quand \(\omega \rightarrow 0\) : $$\varphi(\omega \rightarrow 0) = \arg K = 0^{\circ}$$ Quand \(\omega \rightarrow +\infty\) : $$\varphi(\omega \rightarrow +\infty) = \arg K - \arg(\tau.j.\omega) = -90^{\circ}$$ Quand \(\omega = \omega_c=\frac{1}{\tau}\) : $$\varphi(\omega_c) = \arg K - \arg (1+j) = -45^{\circ}$$
3.3. Système du premier ordre \(H(j.\omega)=1+\tau.j.\omega\)
Gain :
Quand \(\omega \rightarrow 0\) : $$\lim_{\omega \rightarrow 0} H(j.\omega) = \lim_{\omega \rightarrow 0} 1+\tau.j.\omega=1$$ $$\Rightarrow G_{dB}(\omega \rightarrow 0) = 1$$ Quand \(\omega \rightarrow +\infty\) : $$\lim_{\omega \rightarrow +\infty} H(j.\omega) = \lim_{\omega \rightarrow +\infty} 1+\tau.j.\omega=\omega$$ $$\Rightarrow G_{dB}(\omega \rightarrow +\infty) = \omega$$ Quand \(\omega = \omega_c=\frac{1}{\tau}\) : $$H(j.\omega) = 1+j \rightarrow G_{dB}=20.\log{\sqrt{2}}=+3 dB$$ On appelle \(\omega_c\), la PULSATION DE CASSURE.
Phase :
Quand \(\omega \rightarrow 0\) : $$\varphi(\omega \rightarrow 0) = \arg 1 = 0^{\circ}$$ Quand \(\omega \rightarrow +\infty\) : $$\varphi(\omega \rightarrow +\infty) =\arg(\tau.j.\omega) = 90^{\circ}$$ Quand \(\omega = \omega_c=\frac{1}{\tau}\) : $$\varphi(\omega_c) = \arg (1+j) = +45^{\circ}$$
3.4. Système du second ordre \(H(j.\omega)=\frac{K}{1+\frac{2.z}{\omega_0}.(j.\omega)+\frac{1}{\omega_0}.(j.\omega)^{2}}\)
Cas \(n^{\circ}1\) : \(z \geq 1\)
Il est alors possible de définir \(\tau_1\) et \(\tau_2\) tels que : $$H(j.\omega)=\frac{K}{1+\frac{2.z}{\omega_0}.(j.\omega)+\frac{1}{\omega_0}.(j.\omega)^{2}}=K.\frac{1}{1+\tau_1.j.\omega}.\frac{1}{1+\tau_2.j.\omega}$$ Il est possible alors d'additionner les différents premiers ordres.
Gain : $$G_{dB}=20.\log(K)+20.\log(\frac{1}{1+\tau_1.j.\omega})+20.\log(\frac{1}{1+\tau_2.j.\omega})$$ Phase : $$\arg(H(j.\omega)) = \arg(K) + \arg(\frac{1}{1+\tau_1.j.\omega}) + \arg(\frac{1}{1+\tau_2.j.\omega})$$
Cas \(n^{\circ}2\) : \(z < 1\)
$$H(j.\omega)=\frac{K}{1+\frac{2.z}{\omega_0}.(j.\omega)+\frac{1}{\omega_0}.(j.\omega)^{2}}$$ Il est possible de démontrer une PULSATION DE RESONANCE : $$\omega_R = \omega_0.\sqrt{1-z^2}$$ Avec un gain maximal, noté \(Q\), le COEFFICIENT DE SURTENSION : $$Q=\frac{1}{2z.\sqrt{1-z^2}}$$