ASSERVISSEMENT 3 : ANALYSE TEMPORELLE

1. Système du 1er ordre
1.1. Reconnaissance d'un système du premier ordre
Une fonction de transfert est du PREMIER ORDRE si :
  • L'ordre du système est égale à 1;
  • La forme canonique de sa fonction de transfert est $$H(p)=\frac{K}{1+\tau.p}$$
  • La courbe temporelle de la sortie du système, obtenue lorsque celui-ci est soumis à un échelon, a une tangente à l'origine non nulle.
1.2. Obtention de la courbe du premier ordre soumise à échelon
Soit une fonction de transfert de forme $$H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{K}{1+\tau.p}$$ On applique un échelon d'amplitude \(E_0\) de la forme \(e(t)=E_0.u(t)\) (\(u(t)\) fonction échelon). Donc : $$S(p)=\frac{K}{1+\tau.p}.\frac{E_0}{p}$$

Equation temporelle de la courbe :

Pour tracer la courbe représentative de cette fonction de transfert, il est nécessaire de déterminer l'équation de \(s(t)\).
Cependant, la transformée inverse de Laplace n'est pas possible sans passer par une décomposition en éléments simples. Il existe A et B, deux constantes tels que :
$$\begin{eqnarray} S(p) &=& \frac{A}{1+\tau.p}+\frac{B}{p} \nonumber \\ &=& \frac{A.p+B.(1+\tau.p)}{p.(1+\tau.p)} \nonumber \\ &=& \frac{p.(A+B.\tau) + B}{p.(1+\tau.p)} \nonumber \\ \text{Par identification :} & & \nonumber \\ S(p) &=& \frac{K}{1+\tau.p}.\frac{E_0}{p} = \frac{p.(A+B.\tau) + B}{p.(1+\tau.p)} \nonumber \\ &\Rightarrow& \{\begin{matrix} B=K.E_0 \\ A+B.\tau = 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} B=K.E_0 \\ A= -K.E_0.\tau \end{matrix} \nonumber \\ \text{Donc :} & & \nonumber \\ S(p) &=& \frac{-K.E_0.\tau}{1+\tau.p}+\frac{K.E_0}{p} = K.E_0.(\frac{1}{p}-\frac{1}{\frac{1}{\tau}+p}) \nonumber \end{eqnarray}$$
La transformée inverse de Laplace donne : $$s(t)=K.E_0.(u(t)-e^{-\frac{t}{\tau}}.u(t))$$

Points caractéristiques de la fonction \(s(t)\) :

Recherche de la valeur à l'origine : \(s(0)=0\)
Recherche de la pente à l'origine : \(s'(0)=\frac{K.E_0}{\tau}\)
$$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{ds(t)}{dt} = \lim_{p \rightarrow +\infty} p^2.S(p)=\lim_{p \rightarrow +\infty} p^2.(\frac{K}{1+\tau.p}.\frac{E_0}{p})=\lim_{p \rightarrow +\infty} (\frac{K.E_0}{\frac{1}{p}+\tau})=\frac{K.E_0}{\tau}$$
Recherche de la valeur finale : \(s(+\infty)=E_0\)
1.3. Caractéristiques d'une fonction de transfert du 1er ordre
Soit une fonction de transfert noté
$$H(p)=\frac{K}{1+\tau.p}$$
Ses caractéristiques sont :
  • \(K\), le GAIN STATIQUE. Il caractérise le comportement du système en régime permanent. $$s(+\infty)=K.E_0 \Rightarrow K=\frac{s(+\infty)}{E_0}$$ L'unité de \(K\) dépend donc directement de la nature des grandeurs physiques de \(e(t)\) et \(s(t)\).

    Remarque : le gain est dit STATIQUE car la fonction de transfert est de classe 0 (pas d'intégrateur, \(\alpha=0\)).

  • \(\tau\), la CONSTANTE DE TEMPS en \(s\). Elle caractérise la rapidité du système à répondre à la consigne.
$$s(\tau)=K.E_0.(1-e^{-\frac{\tau}{\tau}}).u(\tau)=K.E_0.0,63 \Rightarrow s(\tau) = 63\%.s(+\infty)$$ $$s(3.\tau)=K.E_0.(1-e^{-\frac{3.\tau}{\tau}}).u(3.\tau)=K.E_0.0,95 \Rightarrow s(3.\tau) = 95\%.s(+\infty)$$
2. Système du 2nd ordre
2.1. Reconnaissance d'un système du second ordre
Une fonction de transfert est du SECOND ORDRE si :
  • L'ordre du système est égale à 2;
  • La forme canonique de sa fonction de transfert est
  • $$H(p)=\frac{K}{1+\frac{2.z}{\omega_0}.p+\frac{1}{\omega_0^2}.p^2}$$
  • La courbe temporelle de la sortie du système, obtenue lorsque celui-ci est soumis à un échelon, a une tangente à l'origine nulle.
Exemple de courbe (rouge) d'un système du second ordre soumis à une entrée en échelon unitaire (bleu)
2.2. Caractéristiques d'une fonction de transfert du 2nd ordre
Ses caractéristiques sont :
  • \(K\), le GAIN STATIQUE. Il caractérise le comportement du système en régime permanent. $$s(+\infty)=K.E_0 \Rightarrow K=\frac{s(+\infty)}{E_0}$$ L'unité de \(K\) dépend donc directement de la nature des grandeurs physiques de \(e(t)\) et \(s(t)\).

    Remarque : le gain est dit STATIQUE car la fonction de transfert est de classe 0 (pas d'intégrateur, \(\alpha=0\)).

  • \(z\), le COEFFICIENT D'AMORTISSEMENT sans unité. Il caractérise le comportement du système en régime transitoire.

  • \(\omega_0\), la PULSATION PROPRE en \(rad/s\). Il caractérise le comportement du système en régime transitoire.
2.3. Allure de la réponse temporelle d'un système du second ordre soumise à échelon
L'allure d'une réponse temporelle d'un système du second ordre dépend presque exclusivement de la valeur du coefficient d'amortissement \(z\). Il est important de retenir le type d'allure attendu en fonction de la valeur de \(z\).
Réponse oscillatoire \(z < 1\) Réponse oscillatoire \(z ≥ 1\)
$$z=0,2$$ $$z=1$$
$$z=0,4$$ $$z=2$$
$$z=0,7$$ $$z=4$$
On remarque que les réponses non-oscillatoires peuvent être très proche d'une réponse temporelle d'un système du premier ordre ; leur distinction se fait uniquement par l'étude de la pente à l'origine (nulle dans le cas d'un second ordre = asymptote horizontale à l'origine).
2.4. Identification de la fonction de transfert d'un système du 2nd ordre
2.4.1. Cas où \(z < 1\)
Il est possible de déterminer la fonction de transfert d'un second ordre sur la base d'une courbe présentant un dépassement.

Il est d'abord nécessaire de relever la valeur du premier dépassement :
  • Le DEPASSEMENT RELATIF avec pour unité celle de la grandeur de sortie : $$D_1=|s(t_{pic})-s(+\infty)|$$ Avec \(t_{pic}\) le temps du premier dépassement.
  • Le DEPASSEMENT ABSOLU sans unité :
  • $$D_1\%=|\frac{s(t_{pic})-s(+\infty)}{s(+\infty)}|=e^{-\frac{\pi.z}{\sqrt{1-z^2}}}$$
Le temps de pic \(t_{pic}\) permet de déterminer la pulsation propre \(\omega_0\) à partir du facteur d'amortissement \(z\) : $$t_{pic}=\frac{\pi}{\omega_0.\sqrt{1-z^2}}$$
2.4.2. Cas où \(z ≥ 1\)
Il est possible de montrer que la fonction de transfert peut se mettre sous la forme :
$$H(p)=\frac{K}{1+\frac{2.z}{\omega_0}.p+\frac{1}{\omega_0^2}.p^2}=K.\frac{1}{1+\tau_1.p}.\frac{1}{1+\tau_2.p}$$
Par une étude (voir notion de pôle dominant) qui pourra montrer l'influence prédominante d'une des deux fonctions du premier ordre sur l'autre, il est possible d'approximer une réponse temporelle du second ordre à une réponse temporelle du premier ordre.