ASSERVISSEMENT 2 : MODELISATION

1. Schéma fonctionnel
Pour représenter graphiquement la structure d'un système asservi, on utilise un SCHEMA FONCTIONNEL. Cette technique de représentation utilise 4 éléments de base :
  • Le rectangle qui regroupe un élément ou un groupe d'éléments du système. Chaque élément a une fonction dans le système.
  • La flèche qui désigne une grandeur physique en entrée ou en sortie d'un élément.
  • Le comparateur qui génère l'écart entre deux valeurs comparables, ou sommateur qui permet de prendre en compte une perturbation ou un autre élément du système.
  • Le branchement pour le prélèvement d'information (même information dans chaque branche).
Règles de construction d'un schéma-fonctionnel :
  • Un rectangle ne peut avoir qu’ une seule grandeur physique d’entrée et une seule de sortie (qui peuvent être de même nature (même unité), ou de nature différente) ;
  • S’il y a plusieurs entrées, il est nécessaire de faire apparaître un comparateur / sommateur en amont du rectangle ;
  • Un comparateur / sommateur ne peut soustraire / additionner que deux grandeurs physiques de même nature ;
  • Ce sont des flèches, et non des traits (direction nécessaire) ;
  • La boucle de retour (capteur) peut se situer au dessus ou en dessous sans distinction.
2. Modélisation mathématique
2.1. Hypothèses de validité : SLCI

Les systèmes que nous modéliserons serons exclusivement des SLCI :

Un SYSTEME qui pourra être modélisé par un schéma-fonctionnel avec une grandeur d'entrée et une grandeur de sortie.
Un système est dit LINEAIRE si la fonction mathématique qui décrit son comportement est elle-même linéaire.
En traçant la réponse de la grandeur de sortie \(s(t)\) en fonction de la grandeur d’entrée \(e(t)\) en régime permanent, la caractéristique du système est égale à une droite de pente \(K\) (gain du système).
Un système est dit CONTINU lorsque les variations des grandeurs physiques sont définies à chaque instant.
Un système est dit INVARIANT si on suppose que les caractéristiques du système (masse, dimensions, résistance, etc.) ne varient pas au cours du temps.
2.2. Conséquence de ces hypothèses
Grâce à l’ensemble de ces hypothèses, on peut modéliser les systèmes par des équations différentielles à coefficients constants. $$a_{n}.\frac{d^{n}s(t)}{dt^{n}}+...+a_{0}.s(t)=b_{m}.\frac{d^{m}e(t)}{dt^{m}}+...+b_{0}.e(t)$$ Avec des données propres aux systèmes étudiés :
  • \(e(t)\), grandeur d'entrée du système ;
  • \(s(t)\), grandeur de sortie du système ;
  • \(a_n, ..., a_0, b_m, ..., b_0\), des coefficients constants.
2.3. Résolution des équations différentielles par la Transformée de Laplace
Classiquement, les équations différentielles sont résolues dans le domaine temporel exclusivement (en Phyique, en Mathématique). Cependant, cela engendre une représentation d'un système imbriqué avec ses grandeurs d'entrée et de sortie.

Pour étudier le système en tant que tel, indépendamment des grandeurs, il est possible de le faire à travers un autre domaine que le domaine temporel : le domaine de Laplace.
2.4. Qu'est-ce que le Domaine de Laplace ?
Définition mathématique de la Transformée de Laplace :

La Transformée de Laplace \(F(p)\) de la fonction \(f(t)\) est : $$L[f(t)]=F(p)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t).e^{-p.t}.dt$$ Avec \(p\) la variable du domaine de Laplace, appartenant au corps des complexes \(\mathbb{C}\).

En SII, c'est-à-dire en physique appliquée, la cause précède l'effet. L'ingénieur a pour pratique d'étudier l'effet d'une cause qu'il situe à la date \(t=0\) ; la Transformée de Laplace a donc été restreinte dans le cadre de l'étude des SLCI à : $$L[f(t)]=F(p)=\int_{0+}^{+\infty}f(t).e^{-p.t}.dt$$ On parle alors de FONCTIONS CAUSALES.

Pour rendre une fonction mathématique \(f(t)\) qui n'est pas nulle quand \(t<0\) causale, on la multiplie par la fonction d'Heaviside \(u(t)\) :
\(u(t)=1\) si \(t>0\) et \(u(t)=0\) si \(t<0\)
2.5. Propriétés des Transformées de Laplace
Si la définition mathématique générale n'est pas à savoir, les tableaux et propriétés suivantes sont à connaître par coeur !!


Théorème de la VALEUR INITIALE :
Théorème de la VALEUR FINALE :


Transformées de Laplace des fonctions couramment rencontrées :



Remarques :
  • Les propriétés de Dérivation et d'Intégration sont itérables.
  • Considérons les conditions initiales non nulles :
    $$L[s(t)] = S(p)$$ $$L[\frac{ds(t)}{dt}] = p.S(p) - s(0)$$ $$L[\frac{d^2 s(t)}{dt^2}] = p.L[\frac{ds(t)}{dt}] - \frac{ds(0)}{dt}$$ $$L[\frac{d^2 s(t)}{dt^2}] = p.(p.S(p)- s(0))- \frac{ds(0)}{dt}$$ Si les conditions initiales sont nulles : $$L[\frac{d^2 s(t)}{dt^2}] = p^2.S(p)$$
  • Quand deux fonctions sont multipliées, il est nécessaire de faire une Décomposition en Eléments Simples.
  • On cherche l'expression temporelle de \(s(t)\) à partir de la fraction dans le domaine de Laplace suivante : $$S(p)=\frac{K.U_{0}}{p.(1+T.p)}=\frac{1}{p}.\frac{K.U_{0}}{1+T.p}$$ On se retrouve dans la configuration où \(S(p)\) est la multiplication de deux fonctions dans le domaine de Laplace.
    Par le principe de la décomposition en éléments simples, on admet qu'il existe \(a\) et \(b\) tels que : $$S(p) = \frac{a}{p}+\frac{b}{1+T.p}=\frac{(a.T+b).p+a}{p.(1+T.p)}$$ Par identification, on en déduit : $$a=K.U_{0}$$ $$a.T+b=0 \Rightarrow b=-T.K.U_{0}$$ Donc : $$S(p)=\frac{K.U_{0}}{p}-\frac{T.K.U_{0}}{1+T.p}$$ $$S(p)=K.U_0.(\frac{1}{p}-\frac{1}{\frac{1}{T}+p})$$ On en déduit, par transformée de Laplace inverse : $$s(t)=K.U_{0}.(1-e^{-\frac{t}{T}}).u(t)$$
3. Schéma-bloc & Fonction de Transfert
On obtient, en combinant les notions de schéma-fonctionnel et des équations différentielles dans le domaine de Laplace, qu'il est possible de modéliser tout système par un schéma-bloc, dont les blocs sont renseignés par une fraction de polynôme dans le domaine de Laplace :
3.1. Définitions
Le SCHEMA-BLOC représente un composant ou un système plus complexe.
Les blocs sont complétés par une FONCTION DE TRANSFERT (n’ayant aucune réalité dans le domaine temporelle).
La fonction de transfert d’un système est la fraction rationnelle notée : $$H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}$$
3.2. Fonction de transfert
Pour étudier le comportement des SLCI, on prendra l’habitude de mettre les fonctions de transfert sous forme canonique : $$H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{K}{p^{\alpha}}.\frac{N(p)}{D(p)}$$ Avec :
  • \(K\), le GAIN ;
  • \(\alpha\), la CLASSE du système ;
  • \(N(p)\), le numérateur, et \(D(p)\), le dénominateur tels que : $$\lim_{p \rightarrow 0}\frac{N(p)}{D(p)}=\lim_{p \rightarrow 0}\frac{1+...+a_n.p^n}{1+...+b_m.p^m}=1$$
  • Le degré \(m\) du polynôme du dénominateur \(D(p)\) est appelé ORDRE DU SYSTEME ;
  • Les valeurs de \(p\) qui annulent le numérateur sont appelées les ZEROS du système ;
  • Les valeurs de \(p\) qui annulent le dénominateur sont appelées les PÔLES du système.
3.3. Schéma-bloc
Blocs en série :
Boucle fermée :
On reconnait un système en BOUCLE FERMEE car il présente :
  • Un comparateur ;
  • Un bloc sur la CHAÎNE DIRECTE (processus) \(\rightarrow\) bloc \(G_1\) dont la fonction de transfert est nommée \(FTCD(p)\) pour Fonction de Transfert DE Chaîne Directe ;
  • Un bloc sur la CHAÎNE DE RETOUR (capteur) \(\rightarrow\) bloc \(G_2\).

ATTENTION ! Si la fonction de transfert est égale à 1, on remplacera le bloc par un simple lien.

Dans un système en boucle fermée, on peut retrouver 3 fonctions de transfert :
  • La fonction de transfert en CHAÎNE DIRECTE : $$FTCD(p)=\frac{S(p)}{\varepsilon(p)}=G_1(p)$$
  • La fonction de transfert en BOUCLE OUVERTE.
    On appelle BOUCLE OUVERTE le processus couplé à la mesure du capteur, sans comparateur. $$FTBO(p)=\frac{E_{mes}(p)}{\varepsilon(p)}=G_1(p) \times G_2(p)$$
  • La fonction de transfert en BOUCLE FERMEE : $$FTBF(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{FTCD(p)}{1+FTBO(p)}$$ $$FTBF(p)=\frac{G_1(p)}{1+G_1(p).G_2(p)}$$
Cas particulier du RETOUR UNITAIRE :
Avec un retour unitaire, la boucle de retour est présente, mais n’a pas de « bloc ». Cela signifie que \(G_2=1\).
On trouve alors que : $$FTCD(p)=FTBO(p)$$ On définit finalement : $$FTBF(p)=\frac{FTBO(p)}{1+FTBO(p)}$$
Pour manipuler les schémas-blocs, il est nécessaire de savoir jongler entre la modélisation graphique du schéma-bloc et la modélisation mathématique.
3.4. Intégration d'une perturbation à un schéma-bloc
Une PERTURBATION est une cause extérieure au système asservi, agissant sur le système, au niveau de son processus, et dont la grandeur physique d’entrée n’est pas contrôlée.
Pour réduire un schéma bloc avec une perturbation, ou plus généralement avec une ou plusieurs entrées, on utilise le PRINCIPE DE SUPERPOSITION. Celui-ci définit qu'il est possible de définir une fonction de transfert par entrée (en annulant les autres) ; les différentes sorties obtenues peuvent alors s'ajouter (grâce à la propriété de linéarité des SLCI).
4. Signaux d'entrées
Pour pouvoir analyser un système asservi, en vue d'en déterminer ses performances, les étapes nécessaires sont :
  1. Modéliser le système en définissant la fonction de transfert de chacun de ses composants, et en organisant son architecture ;
  2. Simuler le système ;
  3. Analyser les performances du systèmes.
Si l'on veut analyser la sortie du système, et déterminer comment améliorer le système (ou l'un de ses composants), il est nécessaire de poser des entrées connues, on parle de SIGNAUX D'ENTREES.
Le résultat à ces signaux d'entrées donne la réponse temporelle des systèmes.
Le dernier signal d'entrée que l'on peut utiliser est un signal sinusoïdal, qui conduit à l'analyse fréquentielle.